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Ebene aus zwei Geraden

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Zwei Geraden gg und hh spannen eine Ebene EE auf, wenn sie parallel sind oder sich schneiden.

Mit zwei parallelen Geraden kann die Ebenengleichung in Parameterform durch drei Punkte A,B,CA,B,C aufgestellt werden, die nicht alle auf der gleichen Geraden liegen.

Die Ebenengleichung ergibt sich zu:

Vorausgesetzt die Geraden schneiden sich, so reicht es bereits einen Stützvektor einer Gerade zu wählen und die Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren der Ebene zu übernehmen.

Ebenengleichung aufstellen aus zwei parallelen Geraden

Ausgehend von zwei Geradengleichungen, bspw.

lassen sich drei Punkte bestimmen, die nicht alle in derselben Geraden enthalten sind. Hierzu werden direkt die Aufpunkte A(231)A(2|3|-1) und B(520)B(5|-2|0) aus den Stützvektoren entnommen. Für den dritten Punkt wird in der Gerade hh, t=1t=1 gesetzt:

Bemerkung: Das hätte mit gg auch funktioniert oder einem anderen Wert für den Parameter, diese Rechnung war lediglich die einfachste.

Diese drei Punkte werden in die Parameterform eingesetzt, indem die Verbindungsvektoren AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC} berechnet werden:

E: x\displaystyle E:~\overrightarrow{x}==A+λAB+μAC\displaystyle \overrightarrow{A}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrightarrow{AC}

Einsetzen des Ortsvektors, Berechnen der Verbindungsvektoren

==(231)+λ(52230(1))+μ(92333(1))\displaystyle \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}5-2\\-2-3\\0-(-1)\end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix}9-2\\-3-3\\-3-(-1)\end{pmatrix}

Zusammenfassen

==(231)+λ(351)+μ(762)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix}7\\-6\\-2\end{pmatrix}

Die Parameterform lässt sich dann auf die geforderte Darstellungsform umformen.

  

Ebenengleichung aufstellen aus schneidenden Geraden

Die beiden Geraden

besitzen einen gemeinsamen Schnittpunkt, wobei es nicht nötig ist, diesen zu wissen für das Aufstellen der Ebenengleichung. Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von gg oder hh und beide Richtungsvektoren als Spannvektoren.

Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

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