Ebenen können im Raum auf verschiedene Arten zueinander liegen. Die verschiedenen Möglichkeiten sind folgende:

Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen                   

Ebenen identisch:

Jeder Punkt, der auf der einen Ebene ist, ist auch auf der anderen, es gibt unendliche viele Schnittgeraden,

Ebenen echt parallel:

Ebenen besitzen keine gemeinsamen Punkte und auch keine Schnittgerade

Ebene schneiden sich

Ebenen besitzen genau eine gemeinsame Schnittgerade, die alle Punkte, die auf beiden Ebenen liegen enthält

Visualisierung

Schnittgerade zweier Ebenen:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6242_U6CZ6rMg5V.xml

zwei parallele Ebenen:

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6222_ZdcdSGa07n.xml

Bestimmung der Lagebeziehung (analytische Geometrie)

Auf diese Weise kann die Schnittgerade zweier Ebenen berechnet werden, sofern sie exisitiert, oder man kann kann zeigen dass keine oder unendich viele existieren.

Zur Berechnung braucht man eine Ebene in Koordinatenform, (%%\mathrm H:\;{\mathrm a}_1{\mathrm x}_1+{\mathrm a}_2{\mathrm x}_2+{\mathrm a}_3{\mathrm x}_3-\mathrm b=0%% ) und eine Ebene in Parameterform (%%E:\;\vec x=\vec r+\lambda\vec a+\mu\vec b%%). 

Falls die Ebenen nicht in der hier gebrauchten Form sind, hier können sie umgewandelt werden .

                                     

Vorgehensweise:

  • Einsetzen der Ebene in Parameterform in die Ebene in Koordinatenform 
  • Erhaltene Gleichung vereinfachen
  • Versuche die Gleichung nach einer der beiden Variablen aufzulösen z.B. mögliches Ergebnis: %%\mu=\lambda+1%%

Aus dem Ergebnis der Gleichung folgt, welcher der oberen 3 Fälle vorliegt.

Liefert das Ergebnis:

  • eine wahre Aussage, die nicht  von %%\lambda%% und %%\mu%% abhängt

z.B. von der Form %%2=2%%

so sind beide Ebenen identisch, und alle Punkte der einen Ebene liegen in der Anderen

  • eine für alle  %%\lambda%% und %%\mu%% falsche Aussage

z. B ist Ergebnis von der Form %%5=1%%

so sind beide Ebenen echt parallel und haben keine gemeinsamen Punkte

  • eine Gleichung, die von %%\lambda%% und/ oder  %%\mu%% abhängt

z.B in der Form %%\mu=\lambda+1%%

so gibt es genau eine Gerade, auf der alle gemeinsamen Punkte liegen

Beispiel: Schnittgerade bestimmen

Sei %%\;\;\mathrm H:\;7x_1+x_2-3x_3-8\;=0%% eine Ebene in Koordinatenform und %%E:\;\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}%% eine Ebene in Parameterform

Setze E in H ein:

$$H:\:7(0+\lambda\cdot0+\mu\cdot1)+(1+\lambda\cdot(-1)+\mu\cdot0)-3(0+\lambda\cdot2+\mu\cdot0)-8=0$$

$$\begin{array}{l}7\mu+1-\lambda-6\lambda-8=0\\7\mu-7\lambda-7=0\\7\mu=7\lambda+7\\\mu=\lambda+1\end{array}$$

Wenn man nun %%μ%% in E durch %%λ+1%% ersetzt, so erhält man die Gleichung von der Schnittgerade g:

%%g:\;\overset\rightharpoonup x=\:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}+(\lambda+1)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}%%

$$g:\;\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\left(\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)$$

$$g:\;\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$

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