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Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Hier findest du Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen. Lerne, die Lagebeziehung zu untersuchen und lineare Gleichungssysteme zu lösen!

  1. 1

    Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.

    1. E1:  x1+2x2+x3=1{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1

      E2:  x1+4x2+3x3=7{\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3=7

    2. E1:  4x1+3x2+2x3=5{\mathrm E}_1:\;-4\cdot{\mathrm x}_1+3\cdot{\mathrm x}_2+2\cdot{\mathrm x}_3=5

      E2:  2x1+x2x3=0{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=0

    3. E1:  x1+2x22x3=5{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5

      E2:  2x14x2+4x3=10{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2+4\cdot{\mathrm x}_3=-10

    4. E1:  x1+2x2+x3=1{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=1

      E2:  2x14x22x3=5{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=-5

    5. E1:  x1+x2x31=0{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1=0

      E2:  4x1x2x33=0{\mathrm E}_2:\;4\cdot{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-3=0

    6. E1:  2x13x2+x3=2{\mathrm E}_1:\;2\cdot{\mathrm x}_1-3\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=2

      E2:  6x1+9x23x3=5{\mathrm E}_2:\;-6\cdot{\mathrm x}_1+9\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=5

    7. E1:  x1+2x2+5x3=10{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=10

      E2:  2x14x2+x3=4{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1-4\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=4

    8. E1:  13x1+16x2+12x3=1{\mathrm E}_1:\;{\textstyle\frac13}\cdot{\mathrm x}_1+{\textstyle\frac16}\cdot{\mathrm x}_2+{\textstyle\frac12}\cdot{\mathrm x}_3=1

      E2:  2x1+x2+3x36=0{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-6=0

    9. E1:  5x1+2x2+3x3=30{\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3=30

      E2:  10x1+7x212x3=45{\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3=45

    10. E1:  2x1+3x2+4x3=12{\mathrm E}_1:\;-2\cdot{\mathrm x}_1+3\cdot{\mathrm x}_2+4\cdot{\mathrm x}_3=12

      E2:  x1+4x23x3=0{\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=0

    11. E1:  3x12x2+x34=0{\mathrm E}_1:\;3\cdot{\mathrm x}_1-2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3-4=0

      E2:  2x1+x23x3=7{\mathrm E}_2:\;-2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=7

  2. 2

    Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  x=(142)+r(320)+s(021){\mathrm{E}}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}  und 

      E2:  (236)[x(443)]=0{\mathrm{E}}_2:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\-6\end{pmatrix}\circ\left[\vec{ x}-\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix}\right]=0 .

    2. E1:  x=(121)+r(212)+s(214){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}  und  E2:  (231)[x(101)]=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right]=0

    3. E1:  x=(510)+r(111)+s(111){E}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}  und

      E2:  (010)[x(327)]=0{E}_2:\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\circ\left[\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\2\\-7\end{pmatrix}\right]=0

    4. E1:  x=(113)+r(111)+s(121){\mathrm E}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  (321)x4=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\circ\vec{x}-4=0

    5. E1:  x=(211)+r(111)+s(241){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  (112)x3=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-3=0

    6. E1:  x=(131)+r(210)+s(111){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}  und  E2:  (111)x5=0{\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-5=0

  3. 3

    Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  (235)[x(011)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (4610)[x(100)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0\;

    2. E1:  (235)[x(011)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0   und  

      E2:  (4610)[x(120)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0\;

    3. E1:  (213)[x(111)]=0{\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0   und   E2:  (121)[x(212)]=0  {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]=0\;

  4. 4

    Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  x=(444)+r(210)+s(103){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(2014)+r(113)+s(523){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\-14\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}

    2. E1:  x=(403)+r(010)+s(203){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(230)+r(001)+s(213){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}

    3. E1:  x=(562)+r(241)+s(013){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}5\\6\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(163)+r(252)+s(234){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\4\end{pmatrix}

    4. E1:  x=(121)+r(211)+s(121){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}   und   E2:  x=(213)+r(102)+s(110){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}

    5. E1:  x=(122)+r(102)+s(213){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(544)+r(311)+s(115){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-5\\4\\-4\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}

    6. E1:  x=(122)+r(102)+s(213){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}   und   E2:  x=(312)+r(311)+s(115){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}

  5. 5

    Bestimme die Schnittmenge der beiden in Koordinatenform gegebenen Ebenen.

  6. 6

    Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.

    1. E1:  2x1+3x2x3=13{\mathrm E}_1:\;2\cdot{ x}_1+3\cdot{ x}_2-{ x}_3=13   und

      E2:  x=(121)+r(213)+s(012){\mathrm E}_2:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}

    2. E1:  x1+2x2+x3=4{\mathrm E}_1:\;-{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3=-4   und   E2:  X=(201)+r(012)+s(213){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}

    3. E1:  x1+2x22x3=5{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5   und   E2:  X=(112)+r(413)+s(210){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}

    4. E1:  x1+2x22x3=5{\mathrm E}_1:\;{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2-2\cdot{\mathrm x}_3=5   und   E2:  X=(712)+r(413)+s(210){\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}7\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}

    5. E1:  x=(112)+r(011)+s(113){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}  und  E2:  2x1+x2x31=0{\mathrm E}_2:\;2\cdot{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1=0

    6. E1:  X=(113)+r(111)+s(121){\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}  und  E2:  x12x2+x32=0{\mathrm E}_2:\;{\mathrm x}_1-2\cdot{\mathrm x}_2+{\mathrm x}_3-2=0


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