Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen
Hier findest du Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen. Lerne, die Lagebeziehung zu untersuchen und lineare Gleichungssysteme zu lösen!
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Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,
z.B. die erste Gleichung nach .
Setze dies in die Gleichung ein.
in :
↓ Setze ein.
↓ Multipliziere die Klammer aus.
↓ Fasse zusammen.
↓ Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.
↓ Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach .
Setze dies wiederum in ein.
in :
↓ Setze ein.
↓ Löse die Klammer auf.
↓ Fasse zusammen.
Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung nun erhalten hast.
Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt. Das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.
Du hast jedoch mit den Gleichungen und das Gleichungssystem so umgeformt, dass du und in Abhängigkeit von dargestellt hast.
Betrachte nun als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneter Weise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.
Setze . Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von t ausdrücken.
Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.
Gleichung der Schnittgerade angeben
Mit Vektoren geschrieben, sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren. Zum Beispiel: Durch die Rechnung eliminierst du sogar 2 Unbekannte.
Löse die entstandene Gleichung nach der verbleibenden Variable auf.
Setze in ein, um oder in Abhängigkeit zueinander darzustellen:
↓ Setze ein.
↓ Drücke in Abhängigkeit von aus und bringe alle Terme ohne auf die rechte Seite.
↓ Kürze die Brüche.
Wähle nun . Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von ausdrücken.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (), sind die beiden Gleichungen und identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Lösung: Die Ebenen sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen und ergibt, ist immer falsch (). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Die neu entstandene Gleichung kannst du nun nach auflösen.
↓ Wandle in Dezimalbrüche um.
Nun hast du in Abhängigkeit von dargestellt. Stelle nun auch noch in Abhängigkeit von dar. Setze dafür zum Beispiel Gleichung in Gleichung ein und löse nach auf:
in :
↓ Setze ein.
↓ Löse die Klammer auf.
↓ Vereinfache.
↓ Löse nach auf.
Wähle nun . Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von ausdrücken.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen und ergibt, ist immer falsch (). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die entstandene Gleichung nach auf.
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
↓ Setze ein.
↓ Löse nach auf.
↓ Addiere die Zahlen.
Du hast nun in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen. Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von ausdrücken.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Forme noch so um, dass die 6 auf der rechten Seite steht.
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (), sind die beiden Gleichungen und identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die entstandene Gleichung nach oder auf. Auflösen nach ergibt:
Setze nun die neue Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
↓ Setze ein.
↓ Fasse zusammen.
↓ Löse nach auf.
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die entstandene Gleichung nach oder auf. Auflösen nach ergibt:
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
↓ Setze ein.
↓ Löse die Klammer auf.
↓ Vereinfache.
↓ Löse nach auf.
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die neu entstandene Gleichung nach auf.
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
↓ Setze ein.
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
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Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.
und
.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene gebildet werden. Dazu ist das Skalarprodukt aus Normalenvektor und dem Differenzvektor zu bilden:
Daraus folgt die Koordinatenform:
Die Parameterform von besteht aus 3 Gleichungen für , und . Diese werden an die Stelle der 3 Koordinaten in eingesetzt:
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
Das Ergebnis war: . Das ist offensichtlich eine wahre Aussage. Unabhängig von den Werten der Parameter und entsteht immer eine wahre Aussage. Daher müssen die Ebenen und identisch sein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Wandle in Koordinatenform um. Nun können die drei Koordinaten (Zeilen) der Gleichung in Parameterform, also in die Koordinatenform von eingesetzt werden. Nach der Vereinfachung der Gleichung kann daran abgelesen werden, welche Lagebeziehung vorliegt!
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene wird in die Ebene eingesetzt.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung mit den beiden Parametern und erhalten. Diese Gleichung kannst Du nach einem der beiden Parameter auflösen, hier z.B. nach .
Du kannst nun die Gleichung in die Ebenengleichung einsetzen:
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen und ist eine Gerade mit der Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform der Ebene ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene gebildet werden. Rechne das Skalarprodukt aus.
Daraus folgt die Koordinatenform:
Für jede Koordinate , und wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung eingesetzt. (Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.)
Setze ; und in ein:
Die Klammer wird ausmultipliziert und die Gleichung wird nach dem Parameter aufgelöst:
Durch Einsetzen dieser Beziehung in kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Geraden.
Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Beginne damit die Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Dann kannst du die Ebene in einsetzen und den Parameter finden, welcher zur Schnittgeraden führt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Die Ebene in Koordinatenform lautet:
Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
und
Einsetzen in :
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind. (Die Ebenen liegen aufeinander.)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Einsetzen von in , den Parameter finden und einsetzen, um eine Schnittgerade zu bestimmen.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Setze nun die Gleichung in die Ebenengleichung ein und fasse zusammen:
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen und ist eine Gerade mit der Gleichung
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
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Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen und in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Die Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen und in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein:
und löse nach auf:
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen und in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
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Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln.
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Der Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und es wird zusammengefasst.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen und lautet:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und passend zusammengefasst.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln.
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass es keine Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen gibt, d.h. die beiden Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln.
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Der Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und es wird zusammengefasst.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen und lautet:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und passend zusammengefasst.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
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Bestimme die Schnittmenge der beiden in Koordinatenform gegebenen Ebenen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Wird Gleichung nach aufgelöst, erhältst Du Gleichung
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
- 6
Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Für jede Koordinate , und wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung eingesetzt. Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.
Es folgt also: . Durch Einsetzen dieser Beziehung in kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Gerade! Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
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Beginne damit die Ebene für jedes , und in einzusetzen. Daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen und . Diese in einsetzen, um auf die Schnittgerade schließen zu können.
und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Bestimmung der Schnittgeraden
Setze in ein:
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
Setze in ein und fasse die Vektoren zusammen:
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet:
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze in ein:
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
falsche Aussage
Die Ebenen schneiden sich nicht, d.h. sie sind parallel.
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze in ein:
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
wahre Aussage
Die Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze in ein:
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
wahre Aussage
Die beiden Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)
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und
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze in ein:
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
Setze in ein und fasse entsprechende Vektoren zusammen:
Die Schnittgerade hat die Gleichung:
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