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Erzeugendensystem

Eine Menge von Vektoren heißt Erzeugendensystem, wenn man mit ihnen alle Vektoren eines Vektorraumes durch Linearkombination erzeugen kann.

Allgemeine Darstellung

Die Menge E={v1,v2,v3,  ,  vn}E=\left\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3},\;…,\;\overrightarrow{v_n}\right\} heißt Erzeugendensystem eines Vektorraums VV, wenn für alle Vektoren u\overrightarrow u aus dem Vektorraum VV gilt:

u=a1v1+a2v2+a3v3++anvn mit a1,a2,a3,,anR\overrightarrow u=a_1\cdot\overrightarrow{v_1}+a_2\cdot\overrightarrow{v_2}+a_3\cdot\overrightarrow{v_3}+…+a_n\cdot\overrightarrow{v_n}\text{ mit }a_1,a_2,a_3,…,a_n\in\mathbb{R}

Beispiele

  1. Die Vektoren e1=(100),  e2=(010) und e3=(001)\overrightarrow{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ und } \overrightarrow{e_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} bilden ein Erzeugendensystem vom R3\mathbb{R}^3 da jeder Vektor des R3\mathbb{R}^3 als Linearkombination geschrieben werden kann: (abc)=a(100)+b(010)+c(001) mit a,b,c  R\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{ mit }a,b,c\;\in\mathbb{R}

  2. Die Vektoren e1=(100),e2=(010),e3=(001) und e4=(83,37)\overrightarrow{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{e_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{ und }\overrightarrow{e_4}=\begin{pmatrix}8\\3{,}3\\-7\end{pmatrix} bilden auch ein Erzeugendensystem vom R3\mathbb{R}^3, da jeder Vektor des R3\mathbb{R}^3 als Linearkombination geschrieben werden kann: a=(a1a2a3)=a1(100)+a2(010)+a3(001)+0  (83,37) mit a1,a2,a3  R\overrightarrow a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=a_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+a_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\;\begin{pmatrix}8\\3{,}3\\-7\end{pmatrix}\text{ mit }a_1,a_2,a_3\;\in\mathbb{R}

  3. Die Vektoren k1=(112),k2=(111),k3=(335)\overrightarrow{k_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\overrightarrow{k_2}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{k_3}=\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix} bilden kein Erzeugendensystem vom R3\mathbb{R}^3, da nicht jeder Vektor des R3\mathbb{R}^3 als Linearkombination geschrieben werden kann: Zum Beispiel (100)a(112)+b(111)+c(335) mit a,b,cR\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\neq a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}\text{ mit }a,b,c\in\mathbb{R}

Menge von Vektoren systematisch auf Erzeugendeneigenschaft überprüfen

Eine Menge von Vektoren, bspw.

soll darauf überprüft werden, ob sie den R3\mathbb{R}^3 erzeugen/aufspannen können. Allgemein kann das mithilfe des linearen Gleichungssystems

bzw.

überprüft werden. Untersucht wird, ob das Lösungsverhalten des Gleichungssystems eindeutig ist, denn nur dann können die Vektoren einen beliebigen Vektor erzeugen. Falls keine Lösung besteht, können die Vektoren auch kein Erzeugendensystem sein.

Sonderfall: Mehr Vektoren als nötig

Für das Erzeugen eines Vektorraums wie den R3\mathbb{R}^3 braucht es mindestens 33 Vektoren. Sind mehr als 33 Vektoren auf die Erzeugendeneigenschaft zu überprüfen, könnten zwar schon 33 ausreichen, aber ein Erzeugendensystem besitzt keine Obergrenze in seiner Größe.

Bei der Überprüfung wie im vorangegangenen Abschnitt würde man ein unterbestimmtes Gleichungssystem erhalten, da es zu viele Möglichkeiten gibt, wie nun mehr Vektoren einen beliebigen Vektor erzeugen. Nun gibt es mehrere Möglichkeiten:

  1. Wähle drei Vektoren aus, sind diese bereits ein Erzeugendensystem, dann auch die ganze Menge.

  2. Berechne die mehrdeutige Lösung des LGS und erhalte eine Lösung in Abhängigkeit eines oder mehrerer Parameter.

Möglichkeit 11 ist im Allgemeinen weniger aufwändig, gerade wenn durch geschicktes Auswählen drei passende Vektoren gefunden werden.

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