Suche
suchen

Erzeugendensystem

Eine Menge von Vektoren heißt Erzeugendensystem, wenn man mit ihnen alle Vektoren eines Vektorraumes durch Linearkombination erzeugen kann.

Allgemeine Darstellung

Die Menge E={v1,v2,v3,  ,  vn}\sf E=\left\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3},\;…,\;\overrightarrow{v_n}\right\} heißt Erzeugendensystem eines Vektorraums V\sf V wenn für alle Vektoren u\sf \overrightarrow u aus dem Vektorraum V\sf V gilt:

Beispiele

  1. Die Vektoren e1=(100),  e2=(010) und e3=(001)\sf \overrightarrow{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ und } \overrightarrow{e_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} bilden ein Erzeugendensystem vom R3\sf \mathbb{R}^3 da jeder Vektor des R3\sf \mathbb{R}^3 als Linearkombination geschrieben werden kann: (abc)=a(100)+b(010)+c(001) mit a,b,c  R\sf \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{ mit }a,b,c\;\in\mathbb{R}

  2. Die Vektoren e1=(100),e2=(010),e3=(001) und e4=(83,37)\sf \overrightarrow{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{e_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{ und }\overrightarrow{e_4}=\begin{pmatrix}8\\3,3\\-7\end{pmatrix} bilden auch ein Erzeugendensystem vom R3\sf \mathbb{R}^3 , da jeder Vektor des R3\sf \mathbb{R}^3 als Linearkombination geschrieben werden kann: a=(a1a2a3)=a1(100)+a2(010)+a3(001)+0  (83,37) mit a1,a2,a3  R\sf \overrightarrow a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=a_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+a_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\;\begin{pmatrix}8\\3,3\\-7\end{pmatrix}\text{ mit }a_1,a_2,a_3\;\in\mathbb{R}

  3. Die Vektoren k1=(112),k2=(111),k3=(335)\sf \overrightarrow{k_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\overrightarrow{k_2}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{k_3}=\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix} bilden kein Erzeugendensystem vom R3\sf \mathbb{R}^3 da nicht jeder Vektor des R3\sf \mathbb{R}^3 als Linearkombination geschrieben werden kann: Zum Beispiel (100)a(112)+b(111)+c(335) mit a,b,cR\sf \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\neq a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}\text{ mit }a,b,c\in\mathbb{R}


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?