Eine Menge von Vektoren heißt Erzeugendensystem, wenn man mit ihnen alle Vektoren eines Vektorraumes durch Linearkombination erzeugen kann.

Allgemeine Darstellung

Die Menge %%E=\left\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3},\;…,\;\overrightarrow{v_n}\right\}%% heißt Erzeugendensystem eines Vektorraums %%V%% wenn für alle Vektoren %%\overrightarrow u%% aus dem Vektorraum %%V%% gilt:

%%\overrightarrow u=a_1\cdot\overrightarrow{v_1}+a_2\cdot\overrightarrow{v_2}+a_3\cdot\overrightarrow{v_3}+…+a_n\cdot\overrightarrow{v_n}\text{ mit }a_1,a_2,a_3,…,a_n\in\mathbb{R}%%

Beispiele

  1. Die Vektoren %%\overrightarrow{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ und } \overrightarrow{e_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%% bilden ein Erzeugendensystem vom %%\mathbb{R}^3%% da jeder Vektor des %%\mathbb{R}^3%% als Linearkombination geschrieben werden kann: %%\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{ mit }a,b,c\;\in\mathbb{R}%%

  2. Die Vektoren %%\overrightarrow{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{e_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{ und }\overrightarrow{e_4}=\begin{pmatrix}8\\3,3\\-7\end{pmatrix}%% bilden auch ein Erzeugendensystem vom %%\mathbb{R}^3%% , da jeder Vektor des %%\mathbb{R}^3%% als Linearkombination geschrieben werden kann: %%\overrightarrow a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=a_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+a_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\;\begin{pmatrix}8\\3,3\\-7\end{pmatrix}\text{ mit }a_1,a_2,a_3\;\in\mathbb{R}%%

  3. Die Vektoren %%\overrightarrow{k_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\overrightarrow{k_2}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{k_3}=\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}%% bilden kein Erzeugendensystem vom %%\mathbb{R}^3%% da nicht jeder Vektor des %%\mathbb{R}^3%% als Linearkombination geschrieben werden kann: Zum Beispiel %%\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\neq a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}\text{ mit }a,b,c\in\mathbb{R}%%

 

Kommentieren Kommentare