Beweiskunst
Der Punkt P liege auf dem Fasskreis der Sehne [AB][AB] so, dass die Strecke [PA][PA] Durchmesser ist.
Beweise für diese Lage von P den Randwinkelsatz, indem du zeigst, dass gilt:
      μ=2φ  und  τ=φ\displaystyle \;\;\;\mu = 2\varphi\;\text{und}\;\tau = \varphi
.
Erkenne in der Figur zwei gleichschenklige Dreiecke und benutze deren Basiswinkel zu Winkelberechnungen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz

Hinweis:
Die einzelnen Beweisschritte kannst du mit der Navigationsleiste im gegebenen Applet (untere Zeile) nachvollziehen.
GeoGebra
  • BPM\triangle BPM ist gleichschenklig (BM=PM=r\overline{BM} = \overline{PM} = r)
  1. PBM=φ\sphericalangle{PBM} = \varphi (Basiswinkel)
  2. BMP=180°2φ\sphericalangle{BMP} = 180°- 2\varphi (Winkelsumme im Dreieck)
  3. μ+BMP=180°\mu + \sphericalangle {BMP}= 180° (Nebenwinkel)μ+180°2φ=180°\mu + \text{180°} - 2\varphi = 180°
  4. μ=2φ\mu = 2\varphi
  5. ABM\triangle{ABM} ist gleichschenklig (AM=BM=r\overline{AM} = \overline{BM} = r) mit Basiswinkel α\alpha
  6. Winkelsumme im Dreieck ABM:α+α+2φ=180°\alpha + \alpha+ 2\varphi =180° \vert:2
              α+φ=90°\;\;\;\;\;\;\;\,\alpha +\varphi = 90° \vert φ-\varphi% 
                          α=90°φ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\alpha=90°-\varphi
  • 90°+α+τ=180°90°+\alpha +\tau =180° (gestreckter Winkel)90°+90°φ+τ=180°90°+90°-\varphi + \tau =180°
  1. τ=φ\tau = \varphi