Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Berechnung am Kreis

Diagramm zum Verhältnis von Radius zum Umfang eines Kreises
Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.
U1=2r1πU_1=2\cdot r_1\cdot\pi
Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:
U2=2r2πU_2=2\cdot r_2\cdot\pi
r1r_1 wird um den neuen Umfang U2U_2 zu erhalten vervielfacht: r2=nr1r_2=n\cdot r_1. Setze ein.
U2=2(r1n)π=n2r1πU_2=2\cdot\left(r_1\cdot n\right)\cdot\pi=n\cdot2\cdot r_1\cdot\pi
Benutze 2r1π=U12\cdot r_1\cdot\pi=U_1 um den Ausdruck zu vereinfachen.
U2=nU1U_2=n\cdot U_1
\Rightarrow Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor nn.
Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.
Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.
A1=r12πA_1=r_1^2\pi
Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:
A2=r22πA_2=r_2^2\pi
r1r_1 wird um den neuen Flächeinhalt A2A_2 zu erhalten vervielfacht: r2=nr1r_2=n\cdot r_1
A2=(nr1)2π=n2r12πA_2=\left(n\cdot r_1\right)^2\pi=n^2\cdot r_1^2\cdot\pi
Benutze r12π=A1r_1^2\pi=A_1, um den Zusammenhang zu vereinfachen.
A2=n2A1A_2=n^2\cdot{A}_1
\Rightarrow Multipliziert man den Radius rr mit nn, so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit n2n^2 vervielfacht. Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.