Mit Fasskreisbogen löst man die Frage, von wo aus man eine Strecke unter einem vorgegebenen Winkel sieht.

Fasskreisbogen erhalten ihre Bedeutung durch den sogenannten Randwinkelsatz. Man nennt diesen auch Umfangswinkelsatz oder Peripheriewinkelsatz.

Anwendung finden Fasskreisbogen bei Dreiecks- und Viereckskonstruktionen.

Blickwinkel

Blickwinkel

Medizinisch versteht man unter Blickwinkel die mögliche Auslenkung der Augäpfel, um einen Gegenstand zu betrachten.

Für jedes Auge allein beträgt der maximale Blickwinkel ca. %%150°%%.

Mathematisch kommen Blickwinkel von %%0°%% bis %%180°%% in Frage.

Aufgabe

Im nebenstehenden Applet ist %%\left[AB\right]%% eine Sehne des Kreises um %%M%%.

Die Punkte %%P_1%%, %%P_2%% und %%G%% sind verschiebbar. Klicke sie an und verschiebe sie!

a) Wie sind die Punkte in der Ebene verschiebbar?

b) Unter welchen Blickwinkeln erscheint die Sehne bei den verschiedenen Lagen der Punkte?

%%\;\;\;%%

Ergebnisse:

a)

Der Punkt %%G%% lässt sich beliebig in der Ebene verschieben. Der Punkt %%P_1%% nur längs des oberen Kreisbogens. Der Punkt %%P_2%% nur längs des unteren Kreisbogens.

b)

Die verschiedenen Punkte %%G%% ergeben unterschiedliche Blickwinkel.

Der Blickwinkel %%\varphi_1%% eines Punktes vom oberen Kreisbogen beträgt dagegen stets %%71°%%. Der Blickwinkel %%\varphi_2%% eines beliebigen Punktes vom unteren Kreisbogen stets %%109°%%.

Es gilt: %%\;\;\displaystyle \varphi_{unten} = 180° - \varphi_{oben}%%

Zusammenfassung des Applet-Experiments

Jeder der beiden Kreisbogen, in die die Sehne den Kreisumfang zerlegt, erfassen einen gleichen Blickwinkel.

Man spricht deshalb von den (beiden) Fasskreisbogen der Sehne.

Den jeweiligen Blickwinkel nennt man Randwinkel oder auch Umfangswinkel oder Peripheriewinkel.

Der Satz vom Thaleskreis

Ist die Sehne Durchmesser eines Kreises, so sind beide Fasskreisbogen Halbkreise und jeder erfasst einen Randwinkel von 90°.

Von jedem Punkt eines Kreises erscheint jeder Durchmesser unter dem Blickwinkel von 90°.

Ausnahmen: Die jeweiligen Endpunkte der Durchmesser.

%%\;\;\;%%Thaleskreis

Der Randwinkelsatz

%%\left[AB\right]%% sei eine Sehne im Kreis %%\text{k(M;r)}%% die kein Durchmesser ist. Dann gilt:

  • Alle Randwinkel des längeren Kreisbogens sind gleich groß.

  • Der Randwinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:$$\displaystyle\;\;\varphi=\frac{1}{2}\mu$$

  • Der Randwinkel ist so groß wie der Sehnen-Tangentenwinkel: $$\displaystyle\;\varphi=\tau$$

Randwinkelsatz 1

  • Für jedes Randwinkelmaß %%\overline{\varphi}%% des kleineren Kreisbogens gilt:

%%\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\overline{\varphi}=180°-\varphi%%

%%\;\;\;%%Randwinkelsatz 2

Das Fasskreisbogenpaar

Der Randwinkelsatz besagt, dass eine Strecke von jedem Punkt seines Fasskreisbogens aus unter dem gleichen Blickwinkel erscheint.

Da sich die Größe eines Winkels bei Spiegelung an einer Geraden nicht ändert, bleibt der Blickwinkel auf die Strecke unverändert, wenn man den Fasskreisbogen an der Sehnengeraden spiegelt.

Das so erhaltene Fasskreisbogenpaar ist dann die Menge aller Punkte (der sogenannte "geometrische Ort"), von denen aus die Strecke unter dem vorgegebenen Winkel erscheint.

Fasskreisbogenpaar

Fasskreisbogen konstruieren

Aufgabe

Konstruiere das Fasskreisbogenpaar zum Randwinkel %%\varphi= 70°%%.

Lösung:

Klicke im nachfolgenden Applet die einzelnen Konstruktionsschritte an.

Entscheidend ist schon im 1./2. Schritt die Konstruktion der Kreistangente im Punkt %%A%% durch Antragen des Sehnen-Tangentenwinkels von 70°. Das Lot zur Tangente führt zum Mittelpunkt des Fasskreises.

Fasskreisbogen anwenden

Aufgabe

Konstruiere ein Dreieck ABC aus dem Umkreisradius %%r= 3\, cm%%; %%\alpha = 50°%%; %%\beta = 80°%%.

Lösung

Plan:

  1. Das Teildreieck %%BCM%% ist konstruierbar aus:%%\;\;\overline {BM} = \overline{CM}=r\;\;%%und %%\sphericalangle{BMC}=\color{red}{2}\alpha.%% (Anwendung des Randwinkelsatzes!)

  2. %%A%% liegt dann

    a) auf dem freien Schenkel von %%\beta%% in %%B%% an %%[BC%% und

    b) auf dem Kreis %%k(M;r)%%.

%%\;\;\;%%![Fasskreisbogen

Beschreibung der Konstruktion:

Zeichne die Strecke %%[MB]%% mit %%\overline{MB}=r =3\,cm%%.

Trage in %%M%% an %%[MB%% den Winkel 100° an.

Der angetragene Schenkel schneidet den Kreis %%k(M;3\,cm)%% im Punkt %%C%%.

Trage in %%B%% an %%[BC%% den Winkel 80° an.

Der angetragene Schenkel schneidet den Kreis %%k(M;3\,cm)%% im Punkt A.

Dreieck %%ABC%% ist das gesuchte Dreieck.

Die Konstruktion kannst du im nebenstehenden Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

Übungsaufgaben

Weitere Übungsaufgaben findest du hier.

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