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Fasskreisbogen

Bild

Mit Fasskreisbogen löst man die Frage, von wo aus man eine Strecke unter einem vorgegebenen Winkel sieht.

Fasskreisbogen erhalten ihre Bedeutung durch den sogenannten Randwinkelsatz. Man nennt diesen auch Umfangswinkelsatz oder Peripheriewinkelsatz.

Anwendung finden Fasskreisbogen bei Dreiecks- und Viereckskonstruktionen.

Aufgabe

Im nebenstehenden Applet ist [AB]\left[AB\right] eine Sehne des Kreises um MM.

Die Punkte P1P_1, P2P_2 und GG sind verschiebbar. Klicke sie an und verschiebe sie!

a) Wie sind die Punkte in der Ebene verschiebbar?

b) Unter welchen Blickwinkeln erscheint die Sehne bei den verschiedenen Lagen der Punkte?

Ergebnisse:

a)

Der Punkt GG lässt sich beliebig in der Ebene verschieben. Der Punkt P1P_1 nur längs des oberen Kreisbogens. Der Punkt P2P_2 nur längs des unteren Kreisbogens.

b)

Die verschiedenen Punkte GG ergeben unterschiedliche Blickwinkel.

Der Blickwinkel φ1\varphi_1 eines Punktes vom oberen Kreisbogen beträgt dagegen stets 7171^\circ. Der Blickwinkel φ2\varphi_2 eines beliebigen Punktes vom unteren Kreisbogen stets 109109^\circ.

Es gilt:     φunten=180φoben\;\;\displaystyle \varphi_{unten} = 180^\circ - \varphi_{oben}

Zusammenfassung des Applet-Experiments

Jeder der beiden Kreisbogen, in die die Sehne den Kreisumfang zerlegt, erfassen einen gleichen Blickwinkel.

Man spricht deshalb von den (beiden) Fasskreisbogen der Sehne.

Den jeweiligen Blickwinkel nennt man Randwinkel oder auch Umfangswinkel oder Peripheriewinkel.

Der Satz vom Thaleskreis

Thaleskreis

Ist die Sehne Durchmesser eines Kreises, so sind beide Fasskreisbogen Halbkreise und jeder erfasst einen Randwinkel von 9090^\circ.

Von jedem Punkt eines Kreises erscheint jeder Durchmesser unter dem Blickwinkel von 9090^\circ.

Ausnahmen: Die jeweiligen Endpunkte der Durchmesser.

Der Randwinkelsatz

Randwinkelsatz 1

[AB]\left[AB\right] sei eine Sehne im Kreis k(M;r)\text{k(M;r)}, die kein Durchmesser ist. Dann gilt:

  • Alle Randwinkel des längeren Kreisbogens sind gleich groß.

  • Der Randwinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:

  • Der Randwinkel ist so groß wie der Sehnen-Tangentenwinkel:

Randwinkelsatz 2
  • Für jedes Randwinkelmaß φ\overline{\varphi} des kleineren Kreisbogens gilt:

                  φ=180φ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\overline{\varphi}=180^\circ-\varphi

Das Fasskreisbogenpaar

Fasskreisbogenpaar

Der Randwinkelsatz besagt, dass eine Strecke von jedem Punkt seines Fasskreisbogens aus unter dem gleichen Blickwinkel erscheint.

Da sich die Größe eines Winkels bei Spiegelung an einer Geraden nicht ändert, bleibt der Blickwinkel auf die Strecke unverändert, wenn man den Fasskreisbogen an der Sehnengeraden spiegelt.

Das so erhaltene Fasskreisbogenpaar ist dann die Menge aller Punkte (der sogenannte "geometrische Ort"), von denen aus die Strecke unter dem vorgegebenen Winkel erscheint.

Fasskreisbogen konstruieren

Aufgabe

Konstruiere das Fasskreisbogenpaar zum Randwinkel φ=70\varphi= 70^\circ.

Lösung:

Klicke im nachfolgenden Applet die einzelnen Konstruktionsschritte an.

Entscheidend ist schon im 1./2. Schritt die Konstruktion der Kreistangente im Punkt AA durch Antragen des Sehnen-Tangentenwinkels von 7070^\circ. Das Lot zur Tangente führt zum Mittelpunkt des Fasskreises.

Fasskreisbogen anwenden

Aufgabe

Konstruiere ein Dreieck ABC aus dem Umkreisradius r=3cmr= 3\, cm; α=50\alpha = 50^\circ; β=80\beta = 80^\circ.

Lösung

![Fasskreisbogen

Plan:

  1. Das Teildreieck BCMBCM ist konstruierbar aus:    BM=CM=r    \;\;\overline {BM} = \overline{CM}=r\;\;und BMC=2α.\sphericalangle{BMC}=\color{red}{2}\alpha. (Anwendung des Randwinkelsatzes!)

  2. AA liegt dann

    a) auf dem freien Schenkel von β\beta in BB an [BC[BC und

    b) auf dem Kreis k(M;r)k(M;r).

Beschreibung der Konstruktion:

Zeichne die Strecke [MB][MB] mit MB=r=3cm\overline{MB}=r =3\,\text{cm}.

Trage in MM an [MB[MB den Winkel 100100^\circ an.

Der angetragene Schenkel schneidet den Kreis k(M;3cm)k(M;3\,\text{cm}) im Punkt CC.

Trage in BB an [BC[BC den Winkel 8080^\circ an.

Der angetragene Schenkel schneidet den Kreis k(M;3cm)k(M;3\,\text{cm}) im Punkt AA.

Dreieck ABCABC ist das gesuchte Dreieck.

Die Konstruktion kannst du im nebenstehenden Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales


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