Experimentiere mit einem Zollstock

Mit einem Zollstock lassen sich leicht verschiedene Parallelogramme formen.

Was passiert mit der Höhe %%h_b%% eines bestimmten "Zollstockparallelogramms", wenn man dieses ohne Veränderung der Seitenlängen so verbiegt, dass die Höhe %%h_a%% nur noch die Hälfte (den dritten Teil; den vierten Teil) beträgt?

So kann man den Flächeninhalt des Paralleolgramms berechnen:

$$\begin{array}{l}A_{Paralleogramm}=a\;\cdot\;h_a\\\\A_{Parallelog ramm}=b\;\cdot\;h_b\end{array}$$

Dann gilt:

$$\begin{array}{l}a\;\cdot\;h_a=b\;\cdot\;h_b\\\Rightarrow\displaystyle h_b=\frac ab\cdot h_a\end{array}$$

Da %%a%% und %%b%% unverändert bleiben, ist %%h_b%% nur noch halb so groß (ein Drittel, ein Viertel), wenn sich %%h_a%% entsprechend ändert.

Wahr oder falsch?

Wird ohne Veränderung der Seitenlängen eine Höhe eines Parallelogramms um %%1\,\text{cm}%% (%%2\,\text{cm}%%, %%3\,\text{cm}%%) kleiner, dann wird auch die andere Höhe um %%1\,\text{cm}%% (%%2\,\text{cm}%%, %%3\,\text{cm}%%) kleiner.

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:

$$\begin{array}{l}A_{Parallelogramm}=\;a\cdot h_a\;\;und\\A_{Parallelogramm}=\;b\cdot h_b\end{array}$$

Also gilt:

$$b\cdot h_b=a\cdot h_a$$

Verkleinere %%h_a%% um %%1\,\text{LE}%% und berechne das zugehörige %%h_b'%%.

Voraussetzung: %%h_a>1\;LE%%

$$b\cdot h_b'=a\cdot(h_a-1)$$

durch %%b%% dividieren

%%\displaystyle h_b'=\frac ab(h_a-1)%%

rechte Seite ausmultiplizieren

$$h_b'=\frac abh_a-\frac ab=h_b-\frac ab$$

Ergebnis:

Die neue Höhe %%h_b'%% wird um %%\displaystyle \frac{a}{b} \;\text{LE}%% kleiner. Nur wenn gilt: %%a=b%%, d.h. wenn das Parallelogramm eine Raute ist, würde auch %%h_b%% gerade um %%1\,\text{LE}%% kleiner werden.

Das gleiche gilt, wenn - falls dies überhaupt möglich ist - %%h_a%% um %%2\,\text{LE}%% oder %%3\,\text{LE}%% kleiner wird.