Aufgaben zum Parallelogramm

Wiederhole Grundlagen zum Parallelogramm mit diesen Aufgaben. Hier lernst du, Parallelogramme zu erkennen, fehlende Seiten und andere Größen zu berechnen.

1
Berechne das Gesuchte im gegebenen Parallelogramm.
1. Gegeben ist die Höhe $h=5\,cm$ und der Flächeninhalt $A=15\,cm^2$ . Berechne die Grundlinie $g$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Gegeben: $h=5\,\text{cm}$
  $\quad\quad \;\quad A=15\,\text{cm}^2$
  gesucht: $\quad g$
  Setze in die Flächenformel $A=g\cdot h$ ein.
  $15\,\text{cm}^2=g\cdot5\,\text{cm}\quad |:\,5\,\text{cm}$
  $\color{red}{g=3\,\text{cm}}$
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2. Gegeben ist der Flächeninhalt $A=25\,cm^2$ und die Grundlinie $g=8\,cm$ . Berechne die Höhe $h$ .
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\text{Gegeben:}\;&A=25\,\text{cm}^2\\&g=8\,\text{cm}\end{array}$
  $\text{gesucht:}\;h$
  Setze in die Flächenformel $A=g\cdot h$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}25\,\text{cm}^2&=8~\text{cm} \cdot h\quad |:8\,\text{cm}\\\color{red}{h}&=\color{red}{3{,}125\,\text{cm}}\end{array}$
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3. Gegeben ist die Grundlinie $g=10\,cm$ und die Höhe $h=4\,cm$ . Berechne den Flächeninhalt $A$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\text{Gegeben:}\,&g=10\,\text{cm}\\&h=4\,\text{cm} \end{array}$
  gesucht: $\quad A$
  Setze in die Flächenformel $A=g\cdot h$ ein.
  $A=10\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}$
  $\color{red}{A=40 \, \text{cm}^2}$
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4. Gegeben ist die Höhe $h=11\,cm$ und die Grundlinie $g=54\,cm$ . Berechne den Flächeninhalt $A$ .
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\text{Gegeben:}\;&g=54\,\text{cm}\\&h=11\,\text{cm} \end{array}$
  gesucht: $\quad A$
  Setze in die Flächenformel $A=g \cdot h$ ein.
  $A=54\,\text{cm}\cdot 11\,\text{cm}$
  $\color{red}{A=594\,\text{cm}^2}$
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2
Berechne die fehlenden Maße eines Parallelogramms.
1. Gegeben: $\quad g_1=10\,\text{cm};\quad g_2=5\,\text{cm};\quad h_1=4\,\text{cm}$
  gesucht: $\quad\;\; h_2;\; A$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Flächenformel für $g_{1}$ und $h_{1}$ verwenden.
  $A=10\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}$
  $\displaystyle \color{red}{A=40\;cm^2}$
  $A$ und $g_{2}$ in die Flächenformel für $g_{2}$ und $h_{2}$ einsetzen und nach $h_{2}$ auflösen.
  $40 \,cm^2 = 5\, cm \cdot h_2\quad|:5\,cm$
  $\color{red}{h_2=8\,cm}$
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2. Gegeben: $\quad g_1=9\,cm;\quad h_1=4\,cm;\quad h_2=8\,cm$
  gesucht: $\quad \;\;g_2;\quad A$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Setze $g_{1}$ und $h_{1}$ in die Flächenformel ein.
  $A=9\,cm\cdot4\,cm$
  $\color{red}{A=36\,\text{cm}^2}$
  Setze $A$ und $h_{2}$ in die Flächenformel ein und löse nach $g_{2}$ auf.
  $36\,\text{cm}^2=g_2\cdot8\,\text{cm}\quad|:8\,\text{cm}$
  $\color{red}{g_2=4{,}5\,\text{cm}}$
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3. Gegeben: $\quad g_1=4\,\text{cm};\quad g_2=2\,\text{cm};\quad A=4\,\text{cm}^2$
  gesucht: $\;\quad h_1;\; h_2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  $g_{1}$ und $A$ in die Flächenformel einsetzen, um $h_{1}$ zu berechnen.
  $4\,\text{cm}\cdot h_1=4\,\text{cm}^2\quad|:4\,\text{cm}$
  $\color{red}{h_1=1\,\text{cm}}$
  $g_{2}$ und $A$ in die Flächenformel einsetzen, um $h_{2}$ zu berechnen.
  $2\,\text{cm}\cdot h_2 =4\,\text{cm}^2 \quad|:2 \,\text{cm}$
  $\color{red}{h_2=2\,\text{cm}}$
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4. Gegeben: $\quad g_1=1\,\text{cm};\quad g_2=2\, \text{cm}; \quad h_2= 0{,}6\,\text{cm}$
  gesucht: $\;\quad h_1; \;A$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Mit $g_{2}$ und $h_{2}$ den Flächeninhalt $A$ berechnen.
  $A=2\,\text{cm} \cdot 0{,}6\,\text{cm}$
  $\color{red}{A=1{,}2\,\text{cm}^2}$
  $g_{1}$ und $A$ in die Flächenformel einsetzen, um $h_{1}$ zu berechnen.
  $1\,\text{cm}\cdot h_1=1{,}2\,\text{cm}^2 \quad |:1 \,\text{cm}$
  $\color{red}{h_1=1{,}2\,\text{cm}}$
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5. Gegeben: $\quad g_2=8\,\text{cm}; \quad h_1=7 \,\text{cm}; \quad A= 28\,\text{cm}^2$
  gesucht: $\; \quad g_1; \;h_2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  $g_{2}$ und $A$ in die Flächenformel einsetzen, um $h_{2}$ zu berechnen.
  $8\,\text{cm} \cdot h_2 = 28\,\text{cm}^2 \quad |:8 \,\text{cm}$
  $\color{red}{h_2 = 3{,}5 \,\text{cm}}$
  $h_{1}$ und $A$ in die Flächenformel einsetzen, um $g_{1}$ zu berechnen.
  $g_1 \cdot 7 \,\text{cm}= 28\,\text{cm}^2 \quad|:7 \,\text{cm}$
  $\color{red}{g_1= 4\, \text{cm}^2}$
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6. Gegeben: $\quad h_1= 6\,\text{cm}; \quad h_2= 4\,\text{cm}; \quad A= 48 \,\text{cm}^2$
  gesucht: $\;\quad g_1; \ \; g_2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  $h_{1}$ und $A$ in die Flächenformel einsetzen, um $g_{1}$ zu berechnen.
  $g_1\cdot6\,\text{cm}=48 \,\text{cm}^2\quad |:6 \,\text{cm}$
  $\color{red}{g_1=8\,\text{cm}}$
  $h_{2}$ und $A$ in die Flächenformel einsetzen, um $g_{2}$ zu berechnen.
  $g_2 \cdot 4 \, \text{cm}= 48\,\text{cm}^2 \quad|:4 \,\text{cm}$
  $\color{red}{g_2 = 12 \,\text{cm}}$
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3
Wie viele Parallelogramme erkennst du in der gezeichneten Figur?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramme
Es sind mehr als du wahrscheinlich auf Anhieb erkennst, nämlich $9$ !
Prima, falls du alle gleich entdeckt hast.
Im nachfolgenden Applet kannst du sie einzeln abrufen.
Tippe auf "Weiter" bzw. auf "Zurück" und verfolge die Entstehung der einzelnen Parallelogramme.
4
Experimentiere mit einem Zollstock
Mit einem Zollstock lassen sich leicht verschiedene Parallelogramme formen.
1. Durch die Seitenlängen (und somit auch durch seinen "Umfang", d.h. die Summe der Seitenlängen) ist die Form eines Parallelogramms nicht bestimmt. Zeige dies!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Eine andere Form wäre z.B. die gezeichnete. Du findest sicher noch weitere.
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2. Welche Form besitzt ein Parallelogramm mit vorgegebenen Seitenlängen, wenn seine beiden Höhen am größten sind?
  Rechteck
  Quadrat
  Trapez
  Raute
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Das Parallelogramm ist dann ein Rechteck. Falls alle Seiten des Parallelogramms gleich groß sind, als Sonderfall ein Quadrat.
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3. Was passiert mit der Höhe $h_{b}$ eines bestimmten "Zollstockparallelogramms", wenn man dieses ohne Veränderung der Seitenlängen so verbiegt, dass die Höhe $h_{a}$ nur noch die Hälfte (den dritten Teil; den vierten Teil) beträgt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  So kann man den Flächeninhalt des Paralleolgramms berechnen:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A_{Paralleogramm}=a\;\cdot\;h_a\\\\A_{Parallelog ramm}=b\;\cdot\;h_b\end{array}$
  Dann gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a\;\cdot\;h_a=b\;\cdot\;h_b\\\Rightarrow\displaystyle h_b=\frac ab\cdot h_a\end{array}$
  Da $a$ und $b$ unverändert bleiben, ist $h_{b}$ nur noch halb so groß (ein Drittel, ein Viertel), wenn sich $h_{a}$ entsprechend ändert.
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4. Wahr oder falsch?
  Wird ohne Veränderung der Seitenlängen eine Höhe eines Parallelogramms um $1\,\text{cm}$ ( $2\,\text{cm}$ , $3\,\text{cm}$ ) kleiner, dann wird auch die andere Höhe um $1\,\text{cm}$ ( $2\,\text{cm}$ , $3\,\text{cm}$ ) kleiner.
  nein
  ja
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A_{Parallelogramm}=\;a\cdot h_a\;\;und\\A_{Parallelogramm}=\;b\cdot h_b\end{array}$
  Also gilt:
  $b\cdot h_b=a\cdot h_a$
  Verkleinere $h_{a}$ um $1\,\text{LE}$ und berechne das zugehörige $h_{b}^{'}$ .
  Voraussetzung: $h_a>1\;LE$
  $b\cdot h_b'=a\cdot(h_a-1)$
  durch $b$ dividieren
  $\displaystyle h_b'=\frac ab(h_a-1)$
  rechte Seite ausmultiplizieren
  $h_b'=\frac{a}{b}h_a-\frac{a}{b}=h_b-\frac{a}{b}$
  Ergebnis:
  Die neue Höhe $h_{b}^{'}$ wird um $\displaystyle \frac{a}{b} \;\text{LE}$ kleiner. Nur wenn gilt: $a = b$ , d.h. wenn das Parallelogramm eine Raute ist, würde auch $h_{b}$ gerade um $1\,\text{LE}$ kleiner werden.
  Das gleiche gilt, wenn - falls dies überhaupt möglich ist - $h_{a}$ um $2\,\text{LE}$ oder $3\,\text{LE}$ kleiner wird.
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5
Schiebetüren:
Erkläre den Mechanismus des gezeichneten Schiebetürenmodells.
Wie groß ist die Breite der Türöffnung?
m ist die Breite der Türöffnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Erklärung der Mechanik der Schiebetür:
Die Rauten sind in ihren Eckpunkten "gelenkig". Damit ist die Schiebetüre im Türrahmen verschiebbar.
Wenn sie am rechten "Anschlag" ist und die Rauten dann gerade "gestreckt" sind, ergibt sich für die Breite b der Türöffnung:
$b=8\cdot25\,\text{cm}+12\,\text{cm}=212\,\text{cm}$
Die Breite der Türöffnung beträgt also $2{,}12\,\text{m}.$
6
Berechne die Winkel eines Parallelogramms.
1. wenn einer der vier Winkel $92^\circ$ beträgt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Innenwinkel gleich groß und die Winkelsumme aller Winkel beträgt $360 °$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}2 \alpha + 2 \beta &= 360°\quad \quad |:2 \\\alpha + \beta &= 180° \end{aligned}$
  Setze den gegebenen Wert für $\alpha$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} 92°+ \beta &=180°\quad\quad|-92°\\\beta &=88°\end{aligned}$
  Die gesuchten Winkelgrößen des Parallelogramms sind $88 °$ und $92 °$ .
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2. wenn die größeren Winkel gerade doppelt so groß sind wie die Kleineren.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Setze $\beta$ gleich $2 \alpha$ und bilde die Winkelsumme.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \alpha + 2\alpha + 2\alpha + \alpha &=360° \\6\alpha &=360°\quad \quad |:6\\\alpha &=60°\end{aligned}$
  Die gesuchten Winkelmaße des Parallelogramms betragen $60 °$ und $120 °$ .
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3. wenn die kleineren Winkel um jeweils $20 °$ kleiner sind als die Größeren.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Setze $\beta$ gleich $\alpha+20°$ und bilde die Winkelsumme des Parallelogramms.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\alpha+(\alpha + 20°)+ \alpha + (\alpha+20°) &= 360°\\4\alpha+40° &=360° \quad |-40°\\4\alpha &=320°\quad|:4\\\alpha &=80°\end{aligned}$
  Die gesuchten Winkelmaße des Parallelogramms betragen $80 °$ und $100 °$ .
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7
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
So könnte der Satz zu Ende gehen:
"… an der einen Seite ein Dreieck wegschneiden und es an der gegenüber liegenden Seite anlegen, dann erhältst du ein Rechteck"
Am Beispiel der Zeichnung könnte man das Parallelogramm genau dort zerschneiden, wo der Doppelpfeil eingezeichnet ist.
Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen, kann man also einfach eine Seite a und ihre Höhe h in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks einsetzen.
Hier:
$a=6\,\text{cm},\quad h=4\,\text{cm}$
Setze die Werte in die Formel ein.
$A=6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}$
$A=24\,\text{cm}^2$ $\,$
8
Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt $72$ $\,\text{cm}^2$ und die Höhe $h_a = 4{,}8\,\text{cm}$ . Der Umfang des Parallelogramms beträgt $62$ $\,\text{cm}.$ Berechne die Seitenlängen $a$ und $b$ und die Höhe $h_{b}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\text{Gegeben:}&A_{Parallelogramm} &= 72\,\text{cm}^2\\&U_{Parallelogramm} &=62\,\text{cm}\\&h_a &= 4{,}8\,\text{cm} \\\\ \text{Gesucht:}&a, b, h_b \end{array}$
Um $a$ zu berechnen, benutze die Flächenformel für das Parallelogramm.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}a\cdot4{,}8\,\text{cm} &=&72\,\text{cm}^2\quad|:4{,}8\,\text{cm}\\\color{red}{a} &=&\color{red}{15\,\text{cm}}\end{array}$
Um $b$ zu berechnen, benutze die Formel für den Umfang des Parallelogramms.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2\cdot15\,\text{cm}+2\cdot b&=&62\,\text{cm}\quad|-30\,\text{cm}\\ 2\cdot b&=&32\,\text{cm}\quad|:2\\ \color{red}{b} &=&\color{red}{16\,\text{cm}}\end{array}$
Um $h_{b}$ zu berechnen, benutze die Flächenformel für das Parallelogramm unter Benutzung des Wertes von $b$ , den du ja schon berechnet hast.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 16\,\text{cm}\cdot h_b &=&72\,\text{cm}^2\quad|:16\,\text{cm}\\\color{red}{h_b} &=&\color{red}{4{,}5\,\text{cm}}\end{array}$
9
Parallelogramme lassen sich mit anderen Vierecken zu vielfältigen Formen zusammensetzen.
Berechne die Flächeninhalte der angegebenen Buchstaben-Formen.
1. Berechne die gezeichnete Fläche.
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Die Figur ist achsensymmetrisch.
  Die rechte Hälfte lässt sich in ein Parallelogramm $A B C D$ mit der Seitenlänge $2\,\text{LE}$ und der zugehörigen Höhe von $(10-4)\,\text{LE}$ und in ein rechtwinkliges Dreieck $A B E$ mit den Katheten $2\,\text{LE}$ und $4\,\text{LE}$ zerlegen.
  Setze die Gesamtfläche aus diesen Teilflächen zusammen.
  $A_{ABCD}=2\,cm\cdot6\,cm=12\,cm^2$
  $A_{\Delta ABE}=\frac12\cdot2\,cm\cdot4\,cm=4\,cm^2$
  $A_V=2\cdot 16\,cm^2=32\,cm^2$
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2. Berechne die gezeichnete Fläche.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Berechnung über Parallelogrammflächen
  Die Figur ist punktsymmetrisch und setzt sich aus vier kongruenten Parallelogrammen zusammen, die sich in einem Quadrat überschneiden.
  Die Parallelogramme haben die Seitenlänge $5\,\text{LE}$ und die Höhe $13\,\text{LE}$ .
  Das Quadrat hat die Diagonalenlänge $5\,\text{LE}$ .
  Addiere alle vier Parallelogrammflächen und ziehe davon die Fläche des Quadrats ab.
  Fläche eines Quadrats mit der Diagonlen $d\,\text{LE}$
  $\quad\quad$
  $\displaystyle A_\square = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot d\cdot\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\cdot d^2$
  Für $d=5\,\text{LE}$ ergibt sich: $\quad A_{ABCD} =12{,}5\,\text{FE}$
  $A_{X} = 4\cdot5\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}-12{,}5\,\text{FE}$
  $A_{X} = 247{,}5\,\text{FE}$
  Berechnung ohne Parallelogrammflächen (Subtraktionsverfahren)
  Bei komplizierteren Figuren berechnet man den Flächeninhalt oft nicht dadurch, dass man sie sich aus Teilfiguren zusammengesetzt denkt und deren Flächen addiert, sondern dadurch, dass man "über die Figur hinaus schaut". Man denkt sich dann die Figur in eine größere, aber leicht berechenbare Figur "eingebettet" und subtrahiert von dieser zu großen Fläche die kleineren und oft ebenfalls leicht berechenbaren Restflächen.
  Für unsere Figur geht das so:
  Denke dir den Buchstaben in ein Rechteck eingebettet und ziehe von dessen Fläche zwei Quadratflächen ab.
  Dies ist das Ergebnis:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lll}A_{X}&= \underbrace{26\,\text{LE}\cdot31\,\text{LE}}_{Rechtecksfläche}-\underbrace{26\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}}_{Quadrat\, mit\ Diagonale\, 26\,LE} - \underbrace {21\,\text{LE} \cdot 10{,}5\,\text{LE}}_{Quadrat\,mit\,Diagonale\,21\,LE}\\&=806\,\text{FE}-338\,\text{FE} -220{,}5\,\text{FE} \\&=247{,}5\,\text{FE}\end{array}$
  Die Lösung kannst du im folgenden Spoiler nachvollziehen.
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3. Berechne die gezeichnete Fläche.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Die gesuchte Fläche ergibt sich als Differenz einer großen Rechtecksfläche und der Summe zweier kongruenter gleichschenklig-rechtwinkliger Dreiecke und eines kleinen Rechtecks.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{Z} &=&60\,\text{LE}\cdot 46\,\text{LE}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot36\,\text{LE} \cdot36\,{LE}-10\,\text{LE} \cdot 6\,\text{LE} \\ & =& 1404 \,\text{FE} \end{array}$
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10
Parkettierung eines Parallelogramms
Unter einer Parkettierung einer geometrischen Figur versteht man die vollständige überschneidungsfreie Überdeckung der Figur mit Teilfiguren.
Für das gezeichnete Parallelogramm $A B C D$ gelte $\overline{AB}=\;20\;LE$ , die zugehörige Höhe betrage $10\;LE$ . $M_{1}$ und $M_{2}$ seien Mittelpunkte der Parallelogrammseiten.
Berechne die Flächeninhalte der überdeckenden Teilfiguren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
$\quad\quad\quad\quad$
Die vier Dreiecke $AM_1E,\; EM_2D,\;M_1BF,\;CM_2F$ sind paarweise (z.B. nach dem WSW-Satz) kongruent mit dem Flächeninhalt
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot10\,LE\cdot5\,LE=25\,FE.$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks $A E D$ gilt:
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot10\,LE\cdot10\,LE-25\,FE=25\,FE.$
Dreieck $B C F$ ist nach dem WSW-Satz kongruent zu Dreieck $A E D$ mit $25\,FE$ .
Für den Flächeninhalt des inneren Parallelogramms $M_{1} F M_{2} E$ ergibt sich dann:
$\displaystyle 200\,FE-6\cdot25\,FE=50\,FE.$
11
Berechne die Flächeninhalte der Parallelogramme $A B C D$ .
1. Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms $A B C D$ , wobei $\overline {AD}$ den Durchmesser des Kreises bildet.
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Der Schnittpunkt $H$ des Thaleskreises über $[A D]$ mit der Diagonalen $[A C]$ erzeugt einen rechten Winkel.
  Damit ist $\overline{DH}= 8\,\text{cm}$ die Höhe im Dreieck $A C D$ mit der Grundlinienlänge von $12\,\text{cm}$ .
  $A_{ABCD}=2\cdot A_{\Delta ACD}=2\cdot\frac12\cdot8\;cm\cdot12\;cm$
  $\phantom{A_{ABCD\;}}=96\;cm^2$
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2. Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms $A B C D$ , wobei $\overline {AB}$ den Durchmesser des Kreises bildet.
  cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Da der Punkt D auf dem Thaleskreis über $[A B]$ liegt, ist das Dreieck $A B D$ rechtwinklig.
  Die Kathetenlängen sind $10\, cm$ und $6\, cm$ .
  $A_{ABCD}=2\cdot A_{\Delta ABD}=2\cdot\frac12\cdot6\;cm\cdot10\;cm$
  $\phantom{A_{ABCD}}=60\;cm^2$
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3. Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms $A B C D$ , wenn $M$ der Mittelpunkt von $[D C]$ ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  $\triangle BCM$ ist gleichschenklig und rechtwinklig mit der Hypotenusenlänge $10\,\text{LE}$ .
  $\triangle BCE$ ist ebenfalls gleichschenklig und rechtwinklig mit den Kathetenlängen $5\,\text{LE}$ .
  $\overline{BE}$ ist die Höhe $h$ zur Seite $[A B]$ .
  Damit gilt:
  $\displaystyle A_{ABCD}=20\;LE\;\cdot\;5\;LE\;=\;100\;FE$
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12
Berechne die Fläche des Parallelogramms, das von den angegebenen Punkten aufgespannt wird.
1. $A (1 ∣ 1,5); B (4 ∣ - 1); C (5 ∣ 2,5)$
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst du - je nach Lösungsweg - Grundwissen über die Determinante oder über das Kreuzprodukt.
  $A (1 ∣ 1,5); B (4 ∣ - 1); C (5 ∣ 2,5)$
  Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Es ist nicht nötig, das Parallelogramm aus den angegeben Punkt zu konstruieren, da es nur zwei Vektoren benötigt, um die Fläche zu berechnen. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Parallelogramm aufspannen, und berechne diese Vektoren.
  Auch hier ist es egal, welche Ecke man wählt, da die Parallelogrammfläche stets das Doppelte der gewählten Dreiecksfläche ist.
  $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}1-4\\1{,}5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2{,}5\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}5-4\\2{,}5-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3{,}5\end{pmatrix}$
  1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante
  Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( $\mathrm\alpha$ ) oder setze um die Determinante einen Betrag.
  Wichtig: KEIN $\frac12$ !
  Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.
  $\mathrm A=\left|\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BA}}&\overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{vmatrix}\right|=\begin{vmatrix}\overrightarrow{\mathrm{BC}}&\overrightarrow{\mathrm{BA}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-3\\3{,}5&2{,}5\end{vmatrix}=2{,}5+10{,}5=13\;FE$
  2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt
  Bette die Zeichenebene in den $\mathbb{R}^3$ ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag $0$ hinzugefügt wird.
  Berechne nun das Kreuzprodukt $\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}$ . Das Ergebnis ist ein zu $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht.
  $\displaystyle A=\left|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right|=\left|\begin{pmatrix}-3\\2{,}5\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3{,}5\\0\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0\\-13\end{pmatrix}\right|=13\;FE$
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13
Wie unterscheiden sich Flächeninhalt und Umfang der beiden abgebildeten Vierecke?
Du musst die Fläche und den Umfang für deine Antwort nicht berechnen!
Klicke von den folgenden Antworten alle richtigen an:
Die Flächen beider Figuren sind gleich.
Das Rechteck hat einen kleineren Umfang
Das Parallelogramm hat eine größere Fläche.
Die beiden Vierecke haben den gleichen Umfang
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Parallelogramm
Flächeninhalt
Da die Seitenlänge der Grundseite (4 Einheiten) und die Höhe beider Vierecke (2 Einheiten) gleich lang sind, haben sie den gleichen Flächeninhalt. (Flächenformel für Parallelogramme)
Umfang
Der Umfang setzt sich aus der Länge aller Seiten zusammen. Die linke und rechte Seite der Figur B liegen schräg und sind deshalb länger als die linke und rechte Seite der Figur A. Deshalb besitzt Figur B auch insgesamt einen größeren Umfang als Figur A.
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Löse folgende Aufgaben:
1. „Jedes Trapez ist ein halbes Parallelogramm!“
  Veranschauliche diese Aussage, indem du das Trapez in obiger Zeichnung geeignet ergänzt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften des Trapezes
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2. Berechne den Flächeninhalt des gelben Trapezes.
  FE (Flächeneinheiten)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften des Trapezes
  $a=3{,}5\text{ LE}$
  $c=6\text{ LE}$
  $h=3{,}5\text{ LE}$
  Lies die Längen der Seiten und der Höhe aus der Zeichnung ab um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen.
  $A_{Trapez}=\frac{1}{2}\left(a+c\right)\cdot h$
  $A_{Trapez}=\frac{1}{2}\left(3{,}5+6\right)\cdot 3{,}5$ $\approx 16{,}625\text{ FE}$
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3. „Jedes Dreieck ist ein halbes Parallelogramm!“
  Veranschauliche diese Aussage, indem du das Dreieck in obiger Zeichnung geeignet ergänzt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften des Trapezes
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4. Berechne den Flächeninhalt des roten Dreiecks.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt des Dreiecks
  $A_{Dreieck}=\frac{1}{2}gh$
  $A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot5\text{ LE}\cdot2\text{ LE}=5\text{ LE}^2$
  Lies die Länge der Grundseite und der Höhe des Dreiecks an der Zeichnung ab und berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks.
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Parallelogramm: Ziehe die Wörter in die passenden Lücken.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
1. Ein Parallelogramm ist ein Viereck in dem die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind.
2. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten immer gleich lang.
3. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel immer gleich groß.
4. In einem Parallelogramm ergeben zwei auf derselben Seite liegende Winkel zusammen immer 180°.
5. Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
6. Symmetriepunkt ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen.
7. Eine Diagonale ist eine Strecke in einem Vieleck oder einem Körper, welche zwei nicht benachbarte Eckpunkte miteinander verbindet.
8. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.