Aufgaben zum Parallelogramm - lernen mit Serlo!

Experimentiere mit einem Zollstock

Mit einem Zollstock lassen sich leicht verschiedene Parallelogramme formen.

Durch die Seitenlängen (und somit auch durch seinen "Umfang", d.h. die Summe der Seitenlängen) ist die Form eines Parallelogramms nicht bestimmt. Zeige dies!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Eine andere Form wäre z.B. die gezeichnete. Du findest sicher noch weitere.
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Welche Form besitzt ein Parallelogramm mit vorgegebenen Seitenlängen, wenn seine beiden Höhen am größten sind?
- Rechteck
- Quadrat
- Trapez
- Raute
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Das Parallelogramm ist dann ein Rechteck. Falls alle Seiten des Parallelogramms gleich groß sind, als Sonderfall ein Quadrat.
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Was passiert mit der Höhe $h_{b}$ eines bestimmten "Zollstockparallelogramms", wenn man dieses ohne Veränderung der Seitenlängen so verbiegt, dass die Höhe $h_{a}$ nur noch die Hälfte (den dritten Teil; den vierten Teil) beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
So kann man den Flächeninhalt des Paralleolgramms berechnen:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A_{Paralleogramm}=a\;\cdot\;h_a\\\\A_{Parallelog ramm}=b\;\cdot\;h_b\end{array}$
Dann gilt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a\;\cdot\;h_a=b\;\cdot\;h_b\\\Rightarrow\displaystyle h_b=\frac ab\cdot h_a\end{array}$
Da $a$ und $b$ unverändert bleiben, ist $h_{b}$ nur noch halb so groß (ein Drittel, ein Viertel), wenn sich $h_{a}$ entsprechend ändert.
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Wahr oder falsch?
Wird ohne Veränderung der Seitenlängen eine Höhe eines Parallelogramms um $1\,\text{cm}$ ( $2\,\text{cm}$ , $3\,\text{cm}$ ) kleiner, dann wird auch die andere Höhe um $1\,\text{cm}$ ( $2\,\text{cm}$ , $3\,\text{cm}$ ) kleiner.
- nein
- ja
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A_{Parallelogramm}=\;a\cdot h_a\;\;und\\A_{Parallelogramm}=\;b\cdot h_b\end{array}$
Also gilt:
$b\cdot h_b=a\cdot h_a$
Verkleinere $h_{a}$ um $1\,\text{LE}$ und berechne das zugehörige $h_{b}^{'}$ .
Voraussetzung: $h_a>1\;LE$
$b\cdot h_b'=a\cdot(h_a-1)$
durch $b$ dividieren
$\displaystyle h_b'=\frac ab(h_a-1)$
rechte Seite ausmultiplizieren
$h_b'=\frac{a}{b}h_a-\frac{a}{b}=h_b-\frac{a}{b}$
Ergebnis:
Die neue Höhe $h_{b}^{'}$ wird um $\displaystyle \frac{a}{b} \;\text{LE}$ kleiner. Nur wenn gilt: $a = b$ , d.h. wenn das Parallelogramm eine Raute ist, würde auch $h_{b}$ gerade um $1\,\text{LE}$ kleiner werden.
Das gleiche gilt, wenn - falls dies überhaupt möglich ist - $h_{a}$ um $2\,\text{LE}$ oder $3\,\text{LE}$ kleiner wird.
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