Formenreichtum

Parallelogramme lassen sich mit anderen Vierecken zu vielfältigen Formen zusammensetzen.

Berechne die Flächeninhalte der angegebenen Buchstaben-Formen.

Berechne die gezeichnete Fläche.

%%\quad\quad%%

Die Figur ist achsensymmetrisch.

Die rechte Hälfte lässt sich in ein Parallelogramm %%ABCD%% mit der Seitenlänge %%2\,\text{LE}%% und der zugehörigen Höhe von %%(10-4)\,\text{LE}%% und in ein rechtwinkliges Dreieck %%ABE%% mit den Katheten %%2\,\text{LE}%% und %%4\,\text{LE}%% zerlegen.

Setze die Gesamtfläche aus diesen Teilflächen zusammen.

$$\begin{array}{l}A_{Parallelog ramm\;ABCD}=2\,cm\cdot6\,cm=12\,cm^2\\A_{Dreieck\;ABE}=\frac12\cdot2\,cm\cdot4\,cm=4\,cm^2\\Gesamtfläche=2\cdot 16\,cm^2=32\,cm^2\end{array}$$

Berechne die gezeichnete Fläche.

%%\quad \quad%%

Berechnung über Parallelogrammflächen

Die Figur ist punktsymmetrisch und setzt sich aus vier kongruenten Parallelogrammen zusammen, die sich in einem Quadrat überschneiden.

Die Parallelogramme haben die Seitenlänge %%5\,\text{LE}%% und die Höhe %%13\,\text{LE}%%.

Das Quadrat hat die Diagonalenlänge %%5\,\text{LE}%%.

Addiere alle vier Parallelogrammflächen und ziehe davon die Fläche des Quadrats ab.

Fläche eines Quadrats mit der Diagonlen %%d\,\text{LE}%%

%%\quad\quad%%

%%\displaystyle A_\square = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot d\cdot\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\cdot d^2%%

Für %%d=5\,\text{LE}%% ergibt sich: %%\quad A_{ABCD} =12,5\,\text{FE}%%

%%A_{Gesamtfigur} = 4\cdot5\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}-12,5\,\text{FE}%%

%%A_{Gesamtfigur} = 247,5\,\text{FE}%%

Anmerkung

Du kannst auch die beiden "Balken" der Buchstabenfigur als jeweils ein Ganzes betrachten: Parallelogramme mit der Seitenlänge %%5\, \text{LE}%% und der Höhe %%26\,\text{LE}%%. Von ihrer Summe musst du dann aber - genauso wie oben - den überschneidenen Anteil eines Quadrats mit der Diagonlenlänge %%5\,\text{LE}%% wieder abziehen.

Berechnung ohne Parallelogrammflächen (Subtraktionsverfahren)

Bei komplizierteren Figuren berechnet man den Flächeninhalt oft nicht dadurch, dass man sie sich aus Teilfiguren zusammengesetzt denkt und deren Flächen addiert, sondern dadurch, dass man "über die Figur hinaus schaut". Man denkt sich dann die Figur in eine größere, aber leicht berechenbare Figur "eingebettet" und subtrahiert von dieser zu großen Fläche die kleineren und oft ebenfalls leicht berechenbaren Restflächen.

Für unsere Figur geht das so:

Denke dir den Buchstaben in ein Rechteck eingebettet und ziehe von dessen Fläche zwei Quadratflächen ab.

Dies ist das Ergebnis:$$\begin{align} A_{Gesamtfläche}&= \underbrace{26\,\text{LE}\cdot31\,\text{LE}}_{Rechtecksfläche}-\underbrace{26\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}}_{Quadrat\, mit\ Diagonale\, 26\,LE} - \underbrace {21\,\text{LE} \cdot 10,5\,\text{LE}}_{Quadrat\,mit\,Diagonale\,21\,LE}\\ A_{Gesamtfläche} &=806\,\text{FE}-338\,\text{FE} -220,5\,\text{FE} \\ A_{Gesamtfläche} &=247,5\,\text{FE}\end{align}$$

Die Lösung kannst du im folgenden Spoiler nachvollziehen.

Lösung im Sutraktionsverfahren

%%\quad \quad%%

Die Buchstabenfigur ist in ein Rechteck mit den Maßen %%26\,\text{LE}%% und %%31\,\text{LE}%% eingebettet.

Die beiden roten gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke ergeben zusammen ein Quadrat mit der Diagonlenlänge von %%21\,\text{LE}%%, die beiden grünen eines mit der Diagonalenlänge von %%26\,\text{LE}%%.

Damit gilt:

%%A_{Buchstabenfläche}= 26\,\text{LE} \cdot 31\,\text{LE}-21\,\text{LE}\cdot 10,5\,\text{LE}-26\,\text{LE} \cdot 13\,\text{LE}=247,5\,\text{FE}%%

Berechne die gezeichnete Fläche.

Die gesuchte Fläche ergibt sich als Differenz einer großen Rechtecksfläche und der Summe zweier kongruenter gleichschenklig-rechtwinkliger Dreiecke und eines kleinen Rechtecks.

%%\displaystyle A_{gesuchte\,Fläche} =60\,\text{LE}\cdot 46\,\text{LE}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot36\,\text{LE} \cdot36\,{LE}-10\,\text{LE} \cdot 6\,\text{LE}%%

%%A_{gesuchte \,Fläche} =1404\,\text{FE}%%