Meetingpoints am Trapez

Wie bei anderen Vierecken sind auch beim Trapez der Schnittpunkt der Diagonalen und der Schwerpunkt von besonderer Bedeutung.

%%\quad \quad \quad%%

Im Trapez %%ABCD%% mit den Grundseiten %%a%% und %%c%% und der Höhe %%h%% sei %%E%% der Schnittpunkt der Diagonalen und %%S%% der Schwerpunkt des Trapezes.

Der Schwerpunkt %%S%% eines Trapezes liegt auf der Verbindungstrecke der Mittelpunkte der Grundseiten (Mittenlinie) und hat von der Grundseite den Abstand %%\displaystyle h_{S}=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2c}{a+c}%%

Beweise, dass die Mittenlinie eines jeden Trapezes durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht.

Die zentrische Streckung mit dem Zentrum %%E%% und dem Streckungsfaktor%%\;\displaystyle-\frac{\overline{EC}}{\overline{AE}}\;%%bildet %%A%% auf %%C%% und - weil die Grundseiten des Trapezes parallel sind - %%B%% auf %%D%% ab.

Da bei einer zentrischen Streckung die Mittelpunktseigenschaft erhalten bleibt, ist %%M_2%% der Bildpunkt von %%M_1%%. Damit geht deren Verbindungsstrecke, die Mittenlinie des Trapezes, durch %%E%%.

Der Diagonalenschnittpunkt eines Trapezes ist also tatsächlich ein richtiger "Meetingpoint" wichtiger Linien des Trapezes.

Begründe, dass der Schwerpunkt %%S%% und der Diagonlenschnittpunkt %%E%% zusammenfallen, wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird.

Der Schwerpunkt %%S%% eines Trapezes liegt auf der Mittellinie %%[M_1M_2]%% und sein y-Wert beträgt %%\displaystyle y_S= \frac{h}{3}\cdot\frac{a+2c}{a+c}%%.

Wenn das Trapez %%ABCD%% zu einem Parallelogramm wird, gilt: %%a=c%%.

Damit ergibt sich für den Schwerpunkt:

%%\begin{align}\displaystyle y_S &=\frac{h}{3}\cdot\frac{a+2a}{a+a} \\ y_S&= \frac{h}{3}\cdot\frac{3a}{2a}\\ y_S&=\frac{h}{2}\end{align}%%

Beachte, dass im Parallelogramm %%ABCD%% für den Schnittpunkt %%E%% der Diagonalen gilt:

%%\displaystyle y_E=\frac{h}{2}%%,

da sich die Diagonalen halbieren.

Wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird, fallen also der Diagonalenschnittpunkt und der Schwerpunkt des Trapezes zusammen.

Im nachfolgenden Applet mit der Höhe %%h=3\,LE%% liegt eine Grundlinie auf der x-Achse und alle Eckpunkte können längs der Grundlinien beliebig verschoben werden.

Überzeuge dich bei unterschiedlichen Trapezformen von den jeweiligen Lagen des Schwerpunkts.

Was passiert, wenn das Trapez nicht nur zu einem Parallelogramm "entartet", sondern zu einem Dreieck oder gar zu einer Strecke? (Ganz schön spannend - findest du nicht?)

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So konstruiert man den Schwerpunkt eines Trapezes:

  1. Zeichne die Mittenlinie %%[M_1M_2]%% des Trapezes.

  2. Verlängere %%[DC]%% über %%C%% hinaus um die Strecke %%a%% zum Endpunkt %%E%%.

  3. Verlängere %%[AB]%% über %%A%% hinaus um die Strecke %%c%% zum Endpunkt %%F%%.

  4. Der Schnittpunkt von %%[FE]%% mit %%[M_1M_2]%% ist der Schwerpunkt %%S%%.

Begründe, warum für %%c=0%% mit dieser Konstruktion der Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert wird.

Mit %%c=0%% wird das Trapez zum Dreieck %%ABC%% und für die Konstruktion des Schwerpunktes gilt %%F=A%%.

%%ABEC%% ist ein Parallelogramm, in dem sich die Diagonalen %%[AE]%% und %%[BC]%% halbieren.

Also ist im Dreieck %%ABC%% neben %%[CM]%% auch %%[AP]%% eine Seitenhalbierende und ihr Schnittpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks.

Die Konstruktion des Schwerpunktes im Trapez und auch den Übergang vom Trapez zum Dreieck kannst du im folgenden Applet nachvollziehen.

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