Das dreidimensionale Koordinatensystem ist eine Erweiterung des zweidimensionalen Koordinatensystem um eine dritte Dimension. Es besteht aus drei Achsen, die den dreidimensionalen Raum symbolisieren. Sie werden mit %%{\mathrm x}_1,\;{\mathrm x}_2\;\mathrm{und}\;{\mathrm x}_3%% bezeichnet, wobei %%{\mathrm x}_1,\;{\mathrm x}_2%% die Grundfläche (Boden) und %%{\mathrm x}_3%% die Höhe darstellen.

Die drei Achsen stehen jeweils senkrecht aufeinander, und ihr gemeinsamer Schnittpunkt ist der Nullpunkt des Koordinatensystems und wird auch Koordinatenursprung genannt.

Koordinatensystem zeichnen

Koordinatenachsen zeichnen

1.) %%{\mathrm x}_{2\;}-%% und %%{\mathrm x}_3-%% Achse zeichnen:

Diese stehen senkrecht zueinander und können direkt auf die Kästchenlinien gezeichnet werden.

Sie bilden zusammen ein zweidimensionales Koordinatensystem.

Man zeichnet dabei nur die positive Seite der Achsen, um später die Übersichtlichkeit zu behalten.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6148_5ofOsEfhPE.xml

2.) %%{\mathrm x}_1%% -Achse zeichnen:

Sie kann schräg nach vorne in einem beliebigen Winkel eingezeichnet werden.

Am einfachsten ist es allerdings, wenn sie in einem 45° Winkel gezeichnet wird, da sie dann genau schräg durch die Kästchen verläuft.

Einheiten anzeichnen

3.) Einheiten an der %%{\mathrm x}_{2\;}-%% und %%{\mathrm x}_3-%% Achse einzeichnen: Im Normalfall wählt man diese gleich 1cm, wenn allerdings Punkte mit sehr großen Koordinaten eingezeichnet werden sollen, können die Einheiten auch kleiner oder größer gewählt werden. (z.B. 1cm = 2 oder 1cm = 0,5 )

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6150_h0UNkaJmIL.xml

4.) Einheiten an der %%{\mathrm x}_1%% -Achse einzeichnen: Dabei ist ein schräges Kästchen auf der %%{\mathrm x}_1%% -Achse genau so lang wie 2 Kästchen auf den anderen beiden Achsen.

Punkte

Dreidimensionale Punkte werden in der Form %%\left(\left.{\mathrm x}_{1\;}\right|\;\left.x_{2\;}\right|\;{\mathrm x}_3\right)%% angegeben. Dabei repräsentieren die Einträge jeweils die Längen auf der entsprechenden Achse. Man geht also den %%{\mathrm x}_1%% -Wert nach vorne, den %%{\mathrm x}_2%% -Wert nach rechts und den %%{\mathrm x}_3%% -Wert nach oben.

Beispiel:

%%\mathrm V=\left(\left.2\;\right|\;\left.3\;\right|\;2\right)%%

2 nach vorne

3 nach rechts

2 nach oben

%%\mathrm W=\left(\left.-2\;\right|\;\left.-2\right|\;1\right)%%

2 nach hinten (-2 vorne)

2 nach links (-2 rechts)

1 nach oben

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6144_kgd0wnAVMn.xml

Vektoren

Ein Vektor ist ein Richtungspfeil und wird in der Form %%\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}%% angegeben. Auch hier repräsentieren die Einträge jeweils die Längen auf den jeweiligen Achsen. Der so gefundenen Punkt repräsentiert den Endpunkt des Vektors. Allerdings geht man bei Vektoren von einem Anfangspunkt aus, der vom Nullpunkt verschieden sein kann. Wenn kein Anfangspunkt angegeben ist, geht man vom Nullpunkt aus.

Der Vektor wird durch einen Pfeil vom Anfangs zum Endpunkt repräsentiert.

Beispiel:

%%\overrightarrow{\mathrm V}=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}, \overrightarrow{\mathrm W}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{\mathrm{VW}}=\begin{pmatrix}-2-2\\-2-3\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-5\\-1\end{pmatrix}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6142_UvTix7EwlQ.xml

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Zu article Zeichnen im 3D-Koordinatensystem: Notation
SebSoGa 2016-06-30 15:09:45
Hallo Serlo-Team,

Ich finde die Notation des allerletzten Vektors etwas merkwürdig, \overrightarrow{VW}, es scheint so als würde man die Strecke zwischen zwei Punkten V und W meinen. Normalerweise bezeichnet man Vektoren mit Kleinbuchstaben.
Wird diese Schreibweise tatsächlich verwendet?

Noch eine Kleinigkeit: Wenn der Vektor \overrightarrow{VW} gleich dem Vektor v + w sein soll, dann hat man sich wohl bei der dritten Koordinate des Ergebnisses verrechnet (sollte 3 statt 2 sein).

LG
Sebastian
Renate 2016-06-30 15:53:46
\overrightarrow{VW} bezeichnet nach weitverbreitet-üblicher (und meiner Meinung nach auch sehr sinnvoller) Notation den Vektor, der V auf W abbildet, d.h. denjenigen Vektor der durch eine Pfeil VON V NACH W repräsentiert wird. - (Das hast du wohl ganz richtig auch so vermutet!:).

Berechnen kann man ihn dann mit w-v ("Spitze minus Fuß") - und nicht mit v+w.

Somit sind im Beispiel alle drei (!) Koordinaten in (0 1 2) falsch angegeben.

Ich werde sie jetzt ändern zu (-4 -5 -1).
Vielen Dank für deinen Hinweis und deine Aufmerksamkeit.

Ist es dann so in Ordnung?
SebSoGa 2016-07-01 08:33:48
Die Rechnung stimmt jetzt, danke!
Allerdings passt die Graphik daneben jetzt nicht mehr zu der Rechnung. Ich setzte mich später daran und bastel eine neue.
SebSoGa 2016-07-01 13:03:11
Ich habe jetzt eine neue Graphik eingefügt, allerdings bin ich mit der nicht ganz zufrieden, da ich mir nicht sicher bin, ob der Vektor \overrightarrow{VW} besser als Ortsvektor eingezeichnet werden sollte.
Was meint ihr?
Renate 2016-07-01 18:50:34
Ich find's gut so wie du es jetzt gemacht hast, und würde den Vektor von V nach W da lassen, wo er jetzt ist.
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Zu article Zeichnen im 3D-Koordinatensystem: Grafiken erstellen
sportler85 2014-12-07 13:21:09
Hallo!
Ich finde die Zeichnungen in diesem Artikel sehr anschaulich und grafik sehr ansprechend. Mit welchem Programm wurden diese realisiert?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Nish 2014-12-10 16:33:15
Hallo sportler85,

die Zeichnungen in diesem Artikel wurden mit dem Programm Geogebra erstellt und dann hier hochgeladen. Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
Weiterhin viel Spaß auf Serlo,

Nish