Aufgaben zum Thema Winkel

Wie gut kennst du dich aus? Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du, Winkel zu erkennen und zu messen.

1
Gib jeweils an, um welche Winkelart es sich handelt. Klicke auf das Bild, um es größer angezeigt zu bekommen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
a) spitzer Winkel
b) rechter Winkel
c) stumpfer Winkel
d) gestreckter Winkel
e) überstumpfer Winkel
f) Vollwinkel
2
Miss folgenden Winkel und bezeichne ihn mit den Punkten
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel messen
  Mit dem Geodreieck den Winkel abmessen.
  $\Rightarrow\;\;\sphericalangle MOR=90^\circ$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel Messen
  Mit dem Geodreieck den Winkel abmessen.
  $\Rightarrow\;\;\sphericalangle LMU=143^\circ$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel messen
  Mit dem Geodreieck den Winkel abmessen.
  $\Rightarrow\;\;\sphericalangle RAM=225^\circ$
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3
Zeichne die folgenden Winkel
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  22°
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel Zeichnen
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  104°
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel Zeichnen
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  315°
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel Zeichnen
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4
Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von $80°$ , dessen offene Seite nach rechts zeigt, und einen Winkel von $100°$ , dessen offene Seite nach links zeigt. Was fällt dir auf?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Zeichnen des 80° Winkels
Der 80° Winkel soll nach rechts geöffnet sein, das bedeutet, du kannst eine aufrechte Gerade in dein Heft zeichnen und darauf einen Scheitelpunkt S markieren, an dem der Winkel gezeichnet werden soll.
An den Scheitelpunkt kannst du nun nach rechts einen Winkel mit 80° und eine zugehörige Gerade zeichnen.
In diesem Applet siehst du nochmal, wie du mithilfe eines Geodreiecks einen Winkel zeichnen kannst.
Dein Winkel sollte nun so aussehen. Am besten du beschriftest ihn auch gleich!
Zeichnen des 100° Winkels
Für den 100° Winkel gehst du genauso vor wie für den 80° Winkel, außer dass dieses Mal der Winkel nach links geöffnet sein soll!
Dein 100° Winkel sollte so aussehen.
Vergleiche nun die Bilder der beiden Winkel miteinander.
Was fällt auf?
Es fällt auf, dass die Bilder sehr ähnlich sind.
Wenn du jetzt die Summe der beiden Winkel anschaust, dann bemerkst du, dass $80°+100° =180°$ genau die Gradzahl für einen gestreckten Winkel ergibt.
Aus diesem Grund sind die beiden Winkel 80° und 100° Nebenwinkel in einer Geradenkreuzung. Du kannst also auch beide Winkel in ein und dasselbe Bild einzeichnen!
5
Betrachte die nachfolgende Abbildung. Es gilt: $\alpha=110^\circ$ .
2. Bestimme die Größe des Winkels $\beta$ .
  °
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  $\beta$ ist Nebenwinkel zu $\alpha$ .
  Damit gilt: $\alpha+\beta=180^\circ$ .
  Folglich: $\beta=180^\circ-110^\circ=70^\circ$ .
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3. Bestimme die Größe des Winkels $\gamma$ .
  °
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  $\gamma$ ist Scheitelwinkel zu $\alpha$ . Damit gilt: $\gamma=\alpha=110^\circ$ .
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6
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Berechne durch Umwandlung in Winkelminuten und Winkelsekunden:
$11^\circ\;:\;8$

Tipp: Ein Grad entspricht 60 Winkelminuten. $\; \; \; 1° = 60'$
Eine Winkelminute entspricht 60 Winkelsekunden. $\; \; \; 1' = 60''$
Lösung
Ein Grad entspricht 60 Winkelminuten. $\; \; \; 1° = 60'$
Eine Winkelminute entspricht 60 Winkelsekunden. $\; \; \; 1' = 60''$
Du sollst $11°$ durch $8$ teilen. Beginne, indem du schaust, wie oft die $8$ in die $11$ hineingeht.
$11° : 8 = 1° + (3° : 8)$
Die $8$ passt genau 1mal in die $11°$ . Anschließend sind von den $11°$ noch $3°$ übrig. Die musst du auch noch durch $8$ teilen.
Das geht am besten, indem du die $3°$ in Winkelminuten umwandelst.
$3° = 3 \cdot 60' = 180'$
Teile anschließend die $180'$ durch $8$ . Bilde dabei aber wieder keine Kommazahl, sondern teile mit Rest!
$11° : 8$
$= 1° + (3° : 8)$
$= 1° + (180' :8)$
$= 1° + 22' + (4' :8)$
$=1°22' + (4':8)$
$180:8= 22$ Rest $4$
Aus diesem Grund müssen wir nun die $4'$ in Winkelsekunden umrechnen und wieder durch $8$ teilen.
$\\$
$4' = 4 \cdot 60'' = 240''$
Teile anschließend die $240''$ durch $8$ !
$\\$
$1°22' + (4':8)$
$=1°22' + (240'':8)$
$=1°22' + 30''$
$=1°22'30''$
Als Endergebnis erhältst du $11°:8 = 1°22'30''$ .
In Worten: Ein Grad, zweiundzwanzig Winkelminuten und dreißig Winkelsekunden.
7
Bearbeite folgende Teilaufgaben:
1. Trage die Punkte A(1|1), B(7|5), C(0,5|3) und D(5,5|0,5) und die Geraden AB und CD in das Koordinatensystem ein. Bezeichne den Schnittpunkt der beiden Geraden mit S.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
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2. Kennzeichne den Winkelbogen von $\angle ASD$ mit grüner Farbe, so dass auch seine Orientierung deutlich wird.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
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3. Zeichne den Scheitelwinkel zu $\angle ASD$ mit oranger Farbe und die beiden Nebenwinkel mit blauer Farbe.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
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4. Miss den Winkel $\angle ASD$ und gib seine Winkelart an!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  $\angle ASD=120^\circ\;$
  $\angle ASD$ ist also ein stumpfer Winkel.
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Berechne, welchen stumpfen Winkel die Zeiger einer Uhr um 14.32 Uhr einschließen.
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Minutenzeiger
Geg: 32 Minuten
1 Stunde (60 Minuten)=360°
Berechnung des Winkels in 1 Minute.
$360°:60=6°$
Berechnung des Winkels nach 32 Minuten, indem man die 6° mit den 32 Minuten multipliziert .
$6^\circ\cdot32=192^\circ$
Stundenzeiger
Geg: 14:32 Uhr
Bestimme den Winkel, den der Stundenzeiger pro Minute schafft:
Alle $60$ min schafft er $360°/12=30°$
D.h. jede Minute schafft er $30°/60$ min = $0{,}5°$ /min
Um 14:00 Uhr war der Stundenzeiger bereits bei $60°$ .
$32$ min später ist er $32\cdot0{,}5°=16°$ weiter, also bei $76°$
Das ergibt für den Winkel zwischen den Zeigern
$192° - 76° = 116°$
9
Winkel an der Uhr: Es ist 4 Uhr.
1. Welches Winkelmaß $\alpha$ schließen Stunden- und Minutenzeiger ein?
  °
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
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2. Welchen Bruchteil eines Vollwinkels stellt $\alpha$ dar?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  $\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}=\dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{3}$
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3. Welches Winkelmaß $\beta$ überstreicht der Minutenzeiger in 11 Minuten?
  °
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
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10
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ein Schiff fährt zunächst 10 km nach Nordwesten, dreht dann um 45° Richtung N, dann nach 50 km um 110° im Uhrzeigersinn und schließlich nach weiteren 10 km um 20° gegen den Uhrzeigersinn. Um wie viel hat sich das Schiff insgesamt gedreht? In welche Richtung? In welche Richtung (gemessen in Grad gegenüber der Nordrichtung) fährt es jetzt?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Betrachte zunächst eine Windrose, um die Anfangsrichtung zu bestimmen.
Das Schiff beginnt mit einer $10km$ Strecke in nordwestlicher Richtung (NW). Das bedeutet, es fährt im $45°$ Winkel nach links los.
Das Schiff fährt nun 10km in diese Richtung.
Anschließend dreht das Schiff um $45°$ in Richtung Norden. Damit fährt es wieder direkt nach Norden.
In diese Richtung fährt es nun $50km$ .
Dort angekommen dreht es um $110°$ im Uhrzeigersinn.
Und fährt in diese Richtung $10km$ .
Dann dreht es wieder um $20°$ . Diesmal gegen den Uhrzeigersinn.
Jetzt hat das Schiff seinen endgültigen Kurs erreicht.
Es fährt, wie man leicht erkennen kann genau im $90°$ Winkel zur Richtung Norden.
Man kann damit auch sagen, das Schiff hat sich letztendlich nach Osten gedreht.
Insgesamt hat das Schiff sich folgendermaßen gedreht:
Start in Richtung Nordwesten
Drehen um $45°$ im Uhrzeigersinn
Drehen um $110°$ im Uhrzeigersinn
Drehen um $20°$ gegen den Uhrzeigersinn
Das Schiff hat sich damit um insgesamt $45°+110°+20° = 195°$ gedreht.
Alternative Lösung
Alternativ ist es möglich die gefahrenen Strecken außer Acht zu lassen und das ganze "auf dem Fleck" zu betrachten. Diese Lösung im Folgenden in der Kurzform:
Start in Richtung Nordwesten.
Drehen um $45°$ in Richtung Norden.
Drehen um $110°$ im Uhrzeigersinn.
Am Ende ist das Schiff in Richtung $D$ gedreht. Damit erreichen wir dasselbe Ergebnis wie bei der anderen Lösung, dass das Schiff am Ende in Richtung Osten, im $90°$ Winkel zur Richtung Norden, gedreht ist.
Drehen um $20°$ gegen den Uhrzeigersinn.
Als Lösung erhältst du: Das Schiff hat sich insgesamt um $195°$ (in verschiedene Richtungen) gedreht. Am Ende steht es im $90°$ Winkel im Uhrzeigersinn zur Richtung Norden.