Ein reguläres Tetraeder (Tetraeder = dreiseitige Pyramide) ist eine Pyramide, die

  • vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat,

  • sechs gleich lange Kanten hat.

Tetraeder

Höhe

%%h=\frac{a}{3}\sqrt{6}%%

Warum ist das so?

Die Grundfläche eines Tetraeders ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Höhe in einem solchen Dreieck, hier %%h_\mathrm{Dreieck}%%, ist gegeben durch %%h_\mathrm{Dreieck}=\sqrt3\cdot\frac a2%%.

In dem rechtwinkligen Dreieck %%AQS%% ergibt sich auf Grund des Satzes des Pythagoras folgender Zusammenhang: $$h^2+(\frac23\cdot h_\mathrm{Dreieck})^2=a^2$$ Ziel ist es nun, diese Gleichung nach %%h%% aufzulösen.

%%\begin{array}{l}h^2+\left(\frac23\cdot\sqrt3\cdot\frac{a}2\right)^2=a^2\\\Leftrightarrow h^2+\left(\frac{\sqrt3}3\cdot a\right)^2=a^2\\\Leftrightarrow h^2+\frac39\cdot a^2=a^2\\\Leftrightarrow h^2=a^2-\frac39\cdot a^2\\\Leftrightarrow h^2=\frac69\cdot a^2\\\Leftrightarrow h=\sqrt{\frac69}\cdot a=\frac a3\sqrt6\end{array}%%

Volumen

%%V_\mathrm{Tetraeder}=\frac{a^3}{12}\sqrt2%%

Tetraeder

Warum ist das so?

Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch die Formel: %%V_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot G\cdot h%%

Dabei ist die Grundfläche %%G%% durch die Fläche des gleichseitigen Dreiecks gegeben: %%G=\frac{a^2}4\cdot\sqrt3%%.

Also erhält man:

%%\begin{array}{l}\begin{array}{l}V_\mathrm{Tetraeder}=\frac13\cdot\frac{a^2}4\cdot\sqrt3\cdot\frac{a}3\sqrt6\\=\frac{a^3}{36}\sqrt{3\cdot6}\\=\frac{a^3}{36}\sqrt{18}\end{array}\\=\frac{a^3}{36}\sqrt{2\cdot9}\;\\=\frac{a^3}{36}\cdot3\cdot\sqrt2\\=\frac{a^3}{12}\sqrt2\\\\\\\\\end{array}%%

Oberflächeninhalt

%%O=a^2\sqrt{3}%%

Warum ist das so?

Der Oberflächeninhalt besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken:

$$4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{a^2}{4} = a^2 \sqrt{3}$$

Flächennetz Tetraeder

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