Aufgaben

Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel).
Wie groß ist das Volumen?

%%V=r^2 \cdot \pi \cdot h%%

Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinders.

Die Höhe 60 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.

%%r= d:2= 30\, \text{cm} :2 = 15\, \text{cm}%%

Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.

%%V=(15\, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 60\,\text{cm}%%

Das rechnest du aus,

%%=13\, 500 \cdot \pi\ \text{cm}^3%%

%%= 42\,411,5008….\, \text{cm}^3%%

und rundest das Ergebnis.

%%\approx 42\,412\, \text{cm}^3%%

Ein zylindrisches Ausdehnungsgefäß hat d=35cm Durchmesser und h=450mm Höhe.

Wie viel Liter fasst das Gefäß?

Gegeben:

Zylinder mit

  • Durchmesser %%d=35 \, \text{cm}%%
  • Höhe %%h=450\, \text{mm}%%

Gesucht:

Volumen %%V%% in Litern (l)

Lösung:

Lösungidee:

%%V=?%%

Da es sich bei dem Gefäß um einen Zylinder handelt, brauchst du die Formel für das Volumen eines Zylinders:

%%V_{Zylinder}=G\cdot h=\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h%%

%%V_{Zylinder}=\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h%%

Die Höhe %%h%% ist gegeben,
und den Radius %%r%% kannst du aus dem Durchmesser %%d%% berechnen.

Allerdings sollten, wenn du in die Formel einsetzt, %%h%% und %%r%% die gleiche Einheit haben.

Tipp:
Wenn du %%h%% und %%r%% (oder %%d%%) schon jetzt beide in %%\text{dm}%% umwandelst, kommt das Volumen in %%\text{dm}^3%% (= in Litern l) heraus.
Andernfalls musst du eben nachher die Volumeneinheit noch umrechnen.

Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:

%%h=450\, \text{mm}=4,5\, \text{dm}%%

%%d=35 \, \text{cm}= 3,5\,\text{dm}%%

Aus dem Durchmesser %%d%% berechnest du dann den Radius %%r%%,

%%r=\dfrac d2=1,75dm%%

… und setzt %%r%% und %%h%% in die Volumenformel ein:

%%V=\mathrm\pi\cdot\left(1,75\mathrm{dm}\right)^2\cdot4,5\mathrm{dm}%%

Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.

%%V\approx 43,3\, \text{dm}^3%%

%%\text{dm}^3%% sind dasselbe wie Liter.

Wenn du mit anderen Einheiten gerechnet hast (was natürlich auch möglich ist), musst du dein Ergebnis jetzt noch umrechnen .

%%V\approx43,3\;l%%

Dieses Glas hat einen Durchmesser von 7 cm und seine Höhe ist 8 cm.
Wie groß ist sein Volumen?

$$V=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h$$

Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder. Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.

$$V=(3,5\;\mathrm{cm})^2\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;8\;\mathrm{cm}$$

Das rechnest du aus.

$$\;\;\;=\;98\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^3$$

$$\;\;\;=\;307,608…\;\mathrm{cm}^3$$

Und rundest das Ergebnis.

$$\;\;\;\;\;\approx\;308\;\mathrm{cm}^3$$

In ein Glas mit dem Innendurchmesser 8 cm werden 150 ml Wasser eingegossen.
Wie hoch steht das Wasser im Glas?

Was ist ein "Innendurchmesser"?

Der "Innendurchmesser" ist der Durchmesser, den das Glas "innen" hat - also ohne die Glaswand dazu.

(Wenn man das Glas dagegen mit der Glaswand dazu misst, erhält man als Durchmesser den "Außendurchmesser"; denn man misst ja in diesem Fall nicht innen im Glas, sondern außen.)

Beispiel:
Wenn das Glas 2mm dick ist und innen 8cm Durchmesser hat, dann hat es außen gemessen 8,4cm Durchmesser, weil an beiden Seiten noch 2mm für die Glaswand hinzukommen.
In diesem Fall wäre also

  • der Innendurchmesser 8 cm, und
  • der Außendurchmesser 8,4 cm.

Zylinder

Gegeben:

Zylinder mit

  • Durchmesser %%d=8 \mathrm{cm}%%
  • Volumen %%V=150 \mathrm{ml}%%

(gemeint ist der Zylinder aus Wasser, nicht der aus Glas!)

Gesucht:

Höhe %%h%%

Lösungsidee

Die Höhe %%h%% kommt in der Formel %%V=r^2\cdot \pi \cdot h%% für das Volumen eines Zylinders vor.

Diese Formel kannst du nach %%h%% umstellen und zum Berechnen der Höhe verwenden.

Lösung

Formel umstellen

%%V=r^2\cdot \pi \cdot h%%

%%|: (r^2\cdot \pi)%%

Auf diese Weise erreichst du, dass %%h%% auf der rechten Seite alleine übrig bleibt.

%%\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}= h%%

Wenn es dich stört, dass %%h%% jetzt rechts und nicht links steht, kannst du die Gleichung natürlich auch anders herum hinschreiben:

%%\Rightarrow h=\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}%%

Zahlen einsetzen

%%h=\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}%%

In diese Formel setzt du nun die Werte ein:

%%V=150 \mathrm{ml}%% ist gegeben,

der Radius %%r%% ist die Hälfte vom Durchmesser %%d%%,
%%d=8 \mathrm{cm}%% ist ebenfalls gegeben,

und die Kreiszahl %%\pi%% ist ohnehin immer konstant.

in Arbeit

Ein Weißbierglas hat bis zur Eichmarkierung eine Füllhöhe von %%h = 15 \;\text{cm}%%. Außerdem hat es den maximalen Durchmesser %%d1 = 7,5 \; \text{cm}%% und den minimalen Durchmesser %%d2 = 4,5 \; \text{cm}%%. Schätze mit diesen Zahlen das wahre Volumen des Gefäßinhaltes nach oben und nach unten ab.

Lösungsidee

Die Idee der Aufgabe ist es, das Volumen des komplizierten Weißbierglases mittels zweier Zylinder nach oben und nach unten abzuschätzen. Dadurch erhältst du eine erste Näherung an das wahre Volumen.

Abschätzung nach oben

Ein Zylinder mit der Höhe %%h%% und dem Durchmesser %%d1%% hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:

$$V_{\text{Weißbierglas}} \leq V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}}$$

Abschätzung nach unten

Ein Zylinder mit der Höhe %%h%% und dem Durchmesser %%d2%% hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:

$$V_{\text{Weißbierglas}} \geq V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}}$$

Berechnung der Zylindervolumen

Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel %%V = r^2\cdot\pi\cdot h%% und die Beziehung %%d = \frac{r}2%%:

$$V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}} = (\frac{d1}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{7,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3}\approx 663 \;\mathrm{cm^3} = 0.663 \;\mathrm{l}$$

$$V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}} = (\frac{d2}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{4,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3} \approx 239 \;\mathrm{cm^3} = 0.239\;\mathrm{l}$$

Volumen Weißbierglas

Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:

$$0.239 \;\mathrm{l} \leq V_{\text{Weißbierglas}} \leq 0.663 \;\mathrm{l}$$

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malte5101 2017-02-28 08:03:23
Die Aufgaben sind super Klasse aber manche Fachbegriffe sollten besser erklärt werden aber sonst feier ich sdiese Seite ohne End
Renate 2017-02-28 10:18:14
Danke für dieses positive Feedback! :) :)
Renate 2017-02-28 10:23:06
Welche Fachbegriffe meinst du denn konkret? Vielleicht könntest du es zu den jeweiligen Aufgaben als Kommentar dazu schreiben - oder hier einfach gesammelt als Antwort in dieser Diskussion.

Ich freu mich jedenfalls darauf, wenn wir gemeinsam Serlo NOCH besser machen können!
Gruß
Renate
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