Im gleichseitigen Dreieck gilt mit Pythagoras:

$h_a=\sqrt{a^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3\cdot a^2}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a$

$A_{{\mathrm{\Delta }}_G}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot a^2$

Betrachte das Dreieck $ADS$.

Die Seite $AD$ ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks $ABC$.

Die Seitenhalbierenden (Höhen) schneiden sich im Verhältnis $2:1$.

Für die Strecke $p$ gilt dann:

$p={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \overline{AD}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}a$

Für $q$ gilt: $q={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \overline{AD}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}a$

Im rechtwinkligen Dreieck $AHS$ ist

$h_P=2a$. Dann gilt wieder mit Pythagoras:

$k^2=p^2+h_P^2={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}a\right)}^2+(2a{)}^2$

$k^2={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}^2+4a^2={\displaystyle \frac{13}{3}}{a}^2$

$\Rightarrow k=\sqrt{{\displaystyle \frac{13}{3}}}a={\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{3}}a$

Die Seitenkantenlänge $k$ ist:

Im rechtwinkligen Dreieck $HDS$ gilt:

$h_{\mathrm{\Delta }}^2=h_P^2+q^2=(2a{)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}a\right)}^2=4a^2+{\displaystyle \frac{1}{12}}{a}^2={\displaystyle \frac{49}{12}}{a}^2$

$\Rightarrow h_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{12}}}a={\displaystyle \frac{7}{2\sqrt{3}}}a={\displaystyle \frac{7\cdot \sqrt{3}}{6}}a$