Der Höhensatz und Kathetensatz des Euklid beschreiben Größenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Die Sätze bilden mit dem Satz des Pythagoras die Satzgruppe des Pythagoras.

Höhensatz

Durch die Höhe %%h%% wird die Hypotenuse in die Abschnitte %%p%% und %%q%% geteilt.

Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe %%h%% gleich dem Produkt der Abschnitte der Hypotenuse %%p%% und %%q%% ist. 

Formel:  %%h^2=p\cdot q%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6704_JjTSXS14CZ.xml

Alternative Darstellung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6781_0reao4vq7o.xml

Höhensatz: Beispiel

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit %%p=4cm%% und %%q=3cm%% . Bestimme die Höhe %%h%%.

Benutze dazu die Formel %%h^2=p\cdot q%% .

%%h^2=p\cdot q%%

%%h^2=4cm\cdot3cm%%

%%h^2=12cm^2%%

%%h=\sqrt{12cm^2}=2\sqrt3\;cm%%

Lösung: %%h=3.46\;cm%%

Setze für %%p%% und %%q%% ein.

Rechne.

Ziehe die Wurzel.

Runde (falls verlangt).

Kathetensatz

Der Kathetensatz besagt, dass jeweils das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt des anliegenden Achsenabschnitts der Hypotenuse und der Hypotenuse selbst ist.

Formel: 

  • %%a^2=p\cdot c%%

  • %%b^2=q\cdot c%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6708_9E4b7nnhrU.xml

Kathetensatz: Beispiel

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit %%p=2cm%% und %%c=5cm%% . Bestimme die Katheten %%a%% und %%b%%.

Berechne die an %%p%% anliegende Kathete %%a%% mit der Formel %%a^2=p\cdot c%%.

%%a^2=p\cdot c%%

%%a^2=2cm\cdot5cm=10cm^2%%

%%a=\sqrt{10cm^2}=3.16\;cm%%

%%q=c-p%%

%%q=5cm-2cm=3cm%%

%%b^2=q\cdot c%%

%%b^2=3cm\cdot5cm=15cm^2%%

%%b=\sqrt{15cm^2}=3.87cm%%

Lösung: %%a=3.16cm%% und %%b=3.87\;cm%% .

Setze für %%p%% und %%c%% ein.

Ziehe die Wurzel.

Berechne %%q%% aus %%c%% und %%p%% durch Subtraktion.

Setze für %%p%% und %%c%% ein und rechne.

Berechne die an %%q%% anliegende Kathete %%p%% mit der Formel %%b^2=q\cdot c%%.

Setze für %%q%% und %%c%% ein.

Ziehe die Wurzel.

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Zu article Höhen- und Kathetensatz: Alternative Darstellung
SebSoGa 2016-07-01 12:20:33
Hallo Serlo-Team,

Meiner Meinung nach ist der Abschnitt "alternative Darstellung" des Höhensatzes allein und (noch) unbedeutend, was vielleicht durch einen erklärenden Satz gelöst werden könnte.
Was meint ihr dazu?

An sonsten gefällt mir dieser Artikel als Zusammenfassung super!
LG
Sebastian
mathman2014 2018-09-24 09:53:10
"Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe h gleich dem Produkt der Abschnitte der Hypotenuse p und q ist. "

Hier wird der Abschnitt "alternative Darstellung" erklärt man könnte es jedoch etwas spezifischer machen, da bin ich gleicher Meinung:).
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