Aufgaben
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Würfel mit einer Seitenlänge von 4cm4 \text{cm}. Die Punkte AA und BB von ABC\triangle\mathrm{ABC} sind die Mittelpunkte der Kanten des Würfels.
Berechne den Winkel α\alpha.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Zunächst denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, indem du von Punkt A nach oben an die Ecke des Würfels gehst. Die Strecke von AA zur oberen Ecke hat eine Länge von a2=4cm2=2cm.\dfrac{a}{2} = \dfrac{4\text{cm}}{2} = 2\text{cm}.
Nun denkst du dir eine Diagonale von dieser Ecke des Würfels hinüber zu Punkt CC. Die Länge dd dieser Diagonale lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: a2+a2=d(4cm)2+(4cm)2=d32cm2=dd=32cm5,66cm\begin{array}{rcl} \sqrt{a^2 + a^2} &=& d \\ \sqrt{(4\text{cm})^2 + (4\text{cm})^2} &=& d \\ \sqrt{32\text{cm}^2} &=& d \\ d &=& \sqrt{32}\text{cm} \approx 5,66\text{cm} \end{array}
Nun kannst du die Länge der Strecke AC\overline{AC} berechnen:
AC=(a2)2+d2AC=(4cm2)2+(32cm)2AC=6cm\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline{AC} &=&\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+d^2}\\ \overline{AC} &=& \sqrt{\left(\frac{4cm}{2}\right)^2+(\sqrt{32}cm)^2}\\ \overline{AC} &=& 6cm \end{array}
Um den Winkel zu berechnen, benötigst du eine zweite Seite des eingezeichneten Dreiecks. Nämlich die der Strecke AB\overline{AB}.
AB=(a2)2+(a2)2AB=(4cm2)2+(4cm2)2AB=8cm2,83cm\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline{AB} &=& \sqrt[{}]{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2}\\ \overline{AB} &=& \sqrt[{}]{\left(\frac{4cm}2\right)^2+\left(\frac{4cm}2\right)^2}\\ \overline{AB} &=& \sqrt{8}\text{cm} &\approx & 2,83\text{cm} \end{array}
Wenn du nun im Dreieck ABC\triangle ABC die Höhe einzeichnest (wobei die Strecke [AB][AB] die Grundseite darstellt), erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke. Du betrachtest das obere. In diesem kennst du die Länge der Gegenkathete (82cm=2cm\dfrac{\sqrt{8}}{2}\text{cm} = \sqrt{2}\text{cm}) von α2\dfrac{\alpha}{2} und die Länge der Hypothenuse (6cm6\text{cm}). Mit diesen beiden Seiten bist du nun in der Lage, den Winkel auszurechnen. Dafür benutzt du den Sinus: sin(α2)=2cm6cmα2=sin1(26)α=2sin1(26)27,27°\begin{array}{rcl} \sin(\dfrac{\alpha}{2}) &=& \dfrac{\sqrt{2}\text{cm}}{6\text{cm}} \\\\ \dfrac{\alpha}{2} &=& \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6})\\\\ \alpha &=& 2\cdot\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{6}) &\approx& 27,27 ° \end{array}

Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne den Winkel α\alpha.
Quader mit Diagonalen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Der gesuchte Winkel α\alpha liegt in einem Dreieck, das begrenzt wird von
Skizze zur Aufgabe: Dreieck aus Kante, Flächendiagonale und Raumdiagonale
  • einer Kante, die die Länge 2cm2 \, \mathrm{cm} hat,
    
  • einer Flächendiagonale (die zu dem Rechteck mit den Seitenlängen 3cm3 \, \mathrm{cm} und 4cm4 \, \mathrm{cm} gehört), (in der Skizze hier mit ff_{ }^{ } bezeichnet)

  • einer der Raumdiagonalen des Quaders (in der Skizze hier mit dd^{ } bezeichnet).
Dieses Dreieck ist rechtwinklig.
Die Raumdiagonale des Quaders ist in diesem Dreieck die Hypotenuse.
Für die Aufgabe gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten:
  • Du kannst ff_{ } ausrechnen und dann die Aufgabe mit dem Tangens lösen.
  • oder dd_{ } ausrechnen und die Aufgabe mit dem Sinus lösen.
Allerdings ist ff leichter auszurechnen als dd_{ }, und deshalb die Lösung mit dem Tangens zu empfehlen.

Lösung mit tan

Seitenfläche mit Flächendiagonale f
Die Flächendiagonale ff kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ausrechnen:
f²=(3cm)²+(4cm)²f²=(3\,\mathrm{cm})²+(4\,\mathrm{cm})²
f²=9cm²+16cm²f²=9\,\mathrm{cm}²+16\,\mathrm{cm}²
f²=25cm²f²=25\,\mathrm{cm}²
f=25cm²f=\sqrt{25\,\mathrm{cm}²}
f=5cm\Rightarrow f=5\,\mathrm{cm}

Skizze Dreieck - Winkelberechnung mit Tangens
Nachdem du nun die Länge von ff kennst, kannst du den Winkel α\alpha mit dem Tangens ausrechnen:
tanα=GegenkatheteAnkathete\tan \alpha = \dfrac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}
Das bedeutet hier:
tanα=2cmf\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{f}, also
tanα=2cm5cm=25\tan \alpha = \dfrac{2\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=\dfrac{2}{5}

Durch Anwenden von tan1\tan ^{-1} (mit dem Taschenrechner) erhältst du daraus:
α=tan1(25)21,8°\alpha = \tan ^{-1} (\frac{2}{5} )\approx 21,8°
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