In dieser Aufgabe geht es darum, %%\sin(60°)%% zu berechnen.

Zeichne ein großes Koordinatensystem. %%(1 \text{ Längeneinheit} \; \hat{=} \; 8 \text{ Kästchen})%%. Konstruiere mit dem Zirkel den Einheitskreis und trage mit dem Geodreieck einen %%60°%%-Winkel an die %%x%%-Achse. Konstruiere die Länge %%\sin(60°)%% und messe sie mit dem Lineal.

Zeichne das Koordinatensystem.

Einheitskreis Koordinatensystem

Konstruiere den Einheitskreis mit deinem Zirkel.

Einheitskreis Einheitskreis

Benutze das Geodreieck, um einen %%60°%%-Winkel an die %%x%%-Achse zu zeichnen. Markiere den Schnittpunkt der entstehenden Gerade mit dem Einheitskreis.

Einheitskreis 60 Grad Winkel

Zeichne das Lot, also eine Senkrechte, zur %%x%%-Achse, das durch den markierten Punkt verläuft.

Einheitskreis Lot

Nun kannst du die Länge des Sinus mit deinem Lineal messen.

Einheitskreis Sinus

%%\sin(60°) \approx 0,87%%

Berechne %%\sin(60°)%% genau. Finde dafür zuerst den Wert für %%\cos(60°)%% heraus. Konstruiere dafür ein gleichseitiges Dreieck.

Einheitskreis gleichseitiges Dreieck

Einheitskreis Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem %%60°%%-Winkel hat der dritte Innenwinkel %%30°%%. Im Einheitskreis hat die Hypotenuse die Länge %%1%%.

Erweitere das Dreieck zu einem gleichseitigen Dreieck, indem du das gegebene Dreieck an der Kante mit %%\sin(60°)%% spiegelst. Das Dreieck muss gleichseitig sein, denn es hat drei %%60°%%-Winkel.

Einheitskreis gleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge, also Länge %%1%%.

%%\cos(60°)%% ist genau die Hälfte der Seitenlänge des Dreiecks, also %%\frac{1}{2}%%.

Benutze nun den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck, um %%\sin(60°)%% zu berechnen.

%%\left(\cos(60°)\right)^2+\left(\sin(60°)\right)^2=1^2%%

Setze den Wert für den Kosinus ein.

%%\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\sin(60°)\right)^2=1%%

%%\dfrac{1}{4}+\left(\sin(60°)\right)^2=1%%

%%\mid - \dfrac{1}{4}%%

%%\left(\sin(60°)\right)^2=\dfrac{3}{4}%%

%%\mid \sqrt{}%%

%%\sin(60°)=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}%%

Weil %%\sin(60°)%% überhalb der %%x%%-Achse angetragen wurde, kommt nur das positive Ergebnis in Frage.

%%\sin(60°)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}%%

%%\sin(60°)=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}%%