Aufgaben
Prüfe durch Rechnung, ob die Gerade g:y=3xg: y= 3x unter der jeweiligen Abbildung eine Fixgerade ist.
gv=(26)gg \overset{\vec v=\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix}}{ \longrightarrow}g'

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung

gv=(26)gg \overset{\vec v=\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix}}{ \longrightarrow}g'
Um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes GG' auf der Geraden gg' zu finden, verschiebst du zunächst den Ortsvektor eines beliebigen Punktes GG auf der Geraden gg um den Vektor v\overrightarrow v.
G=G+v=(x3x)+(26)=(x+23x+6)\vec{G'}=\vec{ G}+\vec{ v}=\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2\\3x+6\end{pmatrix}
Jetzt kannst du erkennen, dass die untere Koordinate das dreifache der oberen beschreibt.
(x+23x+6)=(x3x)\begin{pmatrix}x+2\\3x+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'\\3x'\end{pmatrix}
Daraus folgt, dass gg und gg' dieselbe Gerade beschreiben.
g=(x3x)=(x3x)=gg'=\begin{pmatrix}x'\\3x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=g
Die beiden Geraden sind also identisch.
g=gg'=g
gg ist unter der Parallelverschiebung um v=(26)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix} eine Fixgerade.
gv=(43)gg \overset{\vec v=\begin{pmatrix}4\\3 \end{pmatrix}}{ \longrightarrow}g'

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung

gv=(43)gg \longrightarrow^{\overrightarrow v=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}} g'
Zunächst verschiebst du den Ortsvektor eines beliebigen Punktes GG auf der Geraden gg um den Vektor v\overrightarrow v, um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes GG' auf der Geraden gg' zu finden.
G=G+v=(x3x)+(43)=(x+43x+3)\vec{G'}=\vec{ G}+\vec{ v}=\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+4\\3x+3\end{pmatrix}
Nun kannst du die Steigung der Gerade gg' berechnen und mit der Steigung 33 der Anfangsgeraden gg vergleichen.
mg=3x+3x+43m_{g'}=\frac{3x+3}{x+4}\neq 3
Die beiden Geraden sind also nicht identisch.
ggg \neq g'
Daraus folgt, dass unter dieser Abbildung die Gerade gg keine Fixgerade ist.
gO(00),ϕ=180°gg \overset{O(0|0), \phi=180°}{ \longrightarrow}g'

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung um den Ursprung

gO(00),ϕ=180°gg \longrightarrow^{O(0|0), \phi=180°}g'
Du kannst die Formel für die Drehung um 180° am Ursprung für einen beliebigen Punkt GG auf der Geraden gg verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes GG' auf der Geraden gg' zu finden.
G=(xy)=(1001)(x3x)=(x3x)\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1& 0\\0 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-3x\end{pmatrix}
Du kannst nun die Steigung mm des Trägergraphens gg', der die Koordinaten des Punktes GG' beschreibt, bestimmen.
m=3xx=3m=\frac{-3x}{-x}=3
Sowohl gg' hat die Steigung m=3m=3 und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.
g:y=3xg': y'=3x'
gg und gg' haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.
gg' ist also eine Fixgerade
ghgg \overset{h}{ \longrightarrow}g' mit h:y=13xh: y=-\frac13x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

ghgg \longrightarrow^h g' mit h:y=13xh: y=-\frac13x
Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel α\alpha zwischen der Geraden hh und der x-Achse bestimmen.
α=tan1(13)=18,43°\alpha=tan^{-1}(-\frac13)=-18,43°
Nun kannst du den allgemeinen Punkt GG auf der Gerade gg an der Gerade hh spiegeln um den Pukt GG' zu erhalten.
G=(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(xy)=(45353545)(x3x)=(45x353x35x453x)=(x3x)\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac45 & -\frac35\\-\frac35 & -\frac45\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac45x-\frac35\cdot3x\\-\frac35x-\frac45 \cdot 3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-3x\end{pmatrix}
Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.
m=3xx=3m=\frac{-3x}{-x}=3
Sowohl gg' hat die Steigung m=3m=3 und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.
g:y=3xg': y'=3x'
gg und gg' haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.
gg' ist also eine Fixgerade
gk=14gg \overset{k=\frac14}{ \longrightarrow}g'

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung bildet Urprungsgeraden immer auf sich selbst ab.
Dies erkennt man auch rechnerisch:
gk=14gg \longrightarrow^{k=\frac14}g'
Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt GG auf der Geraden gg verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes GG' auf der Geraden gg' zu finden.
G=(xy)=(k00k)(xy)=(140014)(x3x)=(14x34x)\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac14 & 0 \\0 & \frac14\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac14x\\\frac34x\end{pmatrix}
Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.
x=0x=0
G0=(00)\overrightarrow {G_0'}=\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.
m=34x14x=3m=\frac{\frac34x}{\frac14x}=3
Sowohl gg' hat die Steigung m=3m=3.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.
g:y=3xg': y'=3x'
gg und gg' haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.
gg' ist also eine Fixgerade
ghgg \overset{h}{ \longrightarrow}g' mit h:y=2xh: y=2x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

ghgg \longrightarrow^h g' mit h:y=2xh: y=2x
Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel α\alpha zwischen der Geraden hh und der x-Achse bestimmen.
α=tan1(13)=63,43°\alpha=tan^{-1}(-\frac13)=63,43°
Nun kannst du den allgemeinen Punkt GG auf der Gerade gg an der Gerade hh spiegeln um den Pukt GG' zu erhalten.
G=(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(xy)=(35454535)(x3x)=(35x+453x45x+353x)=(95x135x)\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac35 & \frac45\\\frac45 & \frac35\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac35x+\frac45\cdot3x\\\frac45x+\frac35 \cdot 3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac95x\\\frac{13}{5}x\end{pmatrix}
Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen und mit der Steigung der ursprünglichen vergleichen.
mg=135x95x=1393m_{g'}=\frac{\frac{13}{5}x}{\frac95x}=\frac{13}{9}\neq 3
Die beiden Geraden sind also nicht identisch.
ggg \neq g'
Daraus folgt, dass unter dieser Abbildung die Gerade gg keine Fixgerade ist.
Welche Punkte sind unter diesen Abbildungen Fixpunkte?
ghgg \longrightarrow^{h}g' mit g:y=16xg: y=\frac16x und h:y=2,5xh: y=2,5x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

ghgg \longrightarrow^{h}g' mit g:y=295xg: y=\frac{29}{5}x und h:y=2,5xh: y=2,5x
Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel α\alpha zwischen der Geraden hh und der x-Achse bestimmen.
α=tan1(2,5)=68,2°\alpha=tan^{-1}(2,5)=68,2°
Nun kannst du den allgemeinen Punkt GG auf der Gerade gg an der Gerade hh spiegeln um den Pukt GG' zu erhalten.
G=(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(xy)=(2129202920292129)(x295x)=(2129x+2029295x2029x+2129295x)=((2129+4)x(2029+215)x)\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{21}{29} & \frac{20}{29}\\\frac{20}{29} & \frac{21}{29}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\\frac{29}{5}x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{21}{29}x+\frac{20}{29}\cdot \frac{29}{5}x\\\frac{20}{29}x+\frac{21}{29} \cdot \frac{29}{5}x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-\frac{21}{29}+4)x\\(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})x\end{pmatrix}
Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.
mg=(2029+215)x(2129+4)x=709/4751,5m_{g'}=\frac{(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})x}{(-\frac{21}{29}+4)x}=709/475 \approx 1,5
Wenn du 00 für xx einsetzt stellst du fest, dass der Ursprung auf der Gerade gg' liegt.
G0=((2129+4)0(2029+215)0)=(00)\overrightarrow {G'_0}=\begin{pmatrix}(-\frac{21}{29}+4)0\\(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
Damit kannst du die Geradengleichung für gg' aufstellen.
g:y=1,5xg': y=1,5x
Nun kannst du die beiden Gleichungen gg und gg' gleichsetzen um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu finden. Dieser ist auch der Fixpunkt der Spiegelung von gg an hh.
g=gg=g'
295x=1,5x\frac{29}{5}x=1,5x
x=0\rightarrow x=0
Damit kannst du nun die y-Koordinate berechnen, indem du den x-Wert in eine der beiden Gleichungen gg und gg'einsetzt.
g0:y=1,50g'_0: y=1,5\cdot 0
y=0\rightarrow y=0
Fixpunkt
Der Fixpunkt der Abbildung ist also der Ursprung O=(00)O=(0|0).
gk=3gg \longrightarrow^{k=3}g' mit g:y=12xg: y=\frac12x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung bildet Urprungsgeraden immer auf sich selbst ab.
Dies erkennt man auch rechnerisch:
gk=3gg \longrightarrow^{k=3}g' mit g:y=12xg: y=\frac12x
Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt GG auf der Geraden gg verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes GG' auf der Geraden gg' zu finden.
G=(xy)=(k00k)(xy)=(3003)(x12x)=(3x32x)\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\0 & 3\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\\frac12x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x\\\frac32x\end{pmatrix}
Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.
x=0x=0
G0=(00)\overrightarrow {G_0'}=\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.
m=32x3x=12m=\frac{\frac32x}{3x}=\frac12
Jetzt stellst du die Geradengleichung für gg' auf.
g:y=12xg': y=\frac12x
Diese stimmt mit der Gleichung für gg überein. Wenn du sie nun gleichsetzt, stellst du fest, dass g=gg=g' für alle xx erfüllt ist.
g=gg=g'
12x=12x\frac12x=\frac12x
x=xx=x
Alle Punkte auf gg werden wieder auf Punkte auf gg' abgebildet. Die komplette Gerade gg ist daher eine Fixgerade.
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