Aufgaben zu Fixpunkten und Fixgeraden

$g \overset{\vec v=\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix}}{ \longrightarrow}g'$

Um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G'$ auf der Geraden $g'$ zu finden, verschiebst du zunächst den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G$ auf der Geraden $g$ um den Vektor $\overrightarrow v$.

$\vec{G'}=\vec{ G}+\vec{ v}=\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2\\3x+6\end{pmatrix}$

Jetzt kannst du erkennen, dass die untere Koordinate das dreifache der oberen beschreibt.

$\begin{pmatrix}x+2\\3x+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'\\3x'\end{pmatrix}$

Daraus folgt, dass $g$ und $g'$ dieselbe Gerade beschreiben.

$g'=\begin{pmatrix}x'\\3x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=g$

Die beiden Geraden sind also identisch.

$g'=g$

$g$ ist unter der Parallelverschiebung um $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix}$ eine Fixgerade.

$g \longrightarrow^{\overrightarrow v=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}} g'$

Zunächst verschiebst du den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G$ auf der Geraden $g$ um den Vektor $\overrightarrow v$, um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G'$ auf der Geraden $g'$ zu finden.

$\vec{G'}=\vec{ G}+\vec{ v}=\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+4\\3x+3\end{pmatrix}$

Nun kannst du die Steigung der Gerade $g'$ berechnen und mit der Steigung $3$ der Anfangsgeraden $g$ vergleichen.

$m_{g'}=\frac{3x+3}{x+4}\neq 3$

Die beiden Geraden sind also nicht identisch.

$g \longrightarrow^{O(0|0), \phi=180°}g'$

Du kannst die Formel für die Drehung um 180° am Ursprung für einen beliebigen Punkt $G$ auf der Geraden $g$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G'$ auf der Geraden $g'$ zu finden.

$\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1& 0\\0 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-3x\end{pmatrix}$

Du kannst nun die Steigung $m$ des Trägergraphens $g'$, der die Koordinaten des Punktes $G'$ beschreibt, bestimmen.

$m=\frac{-3x}{-x}=3$

Sowohl $g'$ hat die Steigung $m=3$ und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g': y'=3x'$

$g$ und $g'$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g'$ ist also eine Fixgerade

$g \longrightarrow^h g'$ mit $h: y=-\frac13x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha$ zwischen der Geraden $h$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha=tan^{-1}(-\frac13)=-18{,}43°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $G$ auf der Gerade $g$ an der Gerade $h$ spiegeln um den Pukt $G'$ zu erhalten.

$\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac45 & -\frac35\\-\frac35 & -\frac45\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac45x-\frac35\cdot3x\\-\frac35x-\frac45 \cdot 3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-3x\end{pmatrix}$

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{-3x}{-x}=3$

Sowohl $g'$ hat die Steigung $m=3$ und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g': y'=3x'$

$g$ und $g'$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g'$ ist also eine Fixgerade

$g \longrightarrow^{k=\frac14}g'$

Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt $G$ auf der Geraden $g$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G'$ auf der Geraden $g'$ zu finden.

$\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac14 & 0 \\0 & \frac14\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac14x\\\frac34x\end{pmatrix}$

Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.

$x=0$

$\overrightarrow {G_0'}=\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{\frac34x}{\frac14x}=3$

Sowohl $g'$ hat die Steigung $m=3$.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g': y'=3x'$

$g$ und $g'$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g'$ ist also eine Fixgerade

$g \longrightarrow^h g'$ mit $h: y=2x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha$ zwischen der Geraden $h$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha=tan^{-1}(-\frac13)=63{,}43°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $G$ auf der Gerade $g$ an der Gerade $h$ spiegeln um den Pukt $G'$ zu erhalten.

$\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac35 & \frac45\\\frac45 & \frac35\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac35x+\frac45\cdot3x\\\frac45x+\frac35 \cdot 3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac95x\\\frac{13}{5}x\end{pmatrix}$

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen und mit der Steigung der ursprünglichen vergleichen.

$m_{g'}=\frac{\frac{13}{5}x}{\frac95x}=\frac{13}{9}\neq 3$

Die beiden Geraden sind also nicht identisch.

$g \longrightarrow^{h}g'$ mit $g: y=\frac{29}{5}x$ und $h: y=2{,}5x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha$ zwischen der Geraden $h$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha=tan^{-1}(2{,}5)=68{,}2°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $G$ auf der Gerade $g$ an der Gerade $h$ spiegeln um den Pukt $G'$ zu erhalten.

$\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{21}{29} & \frac{20}{29}\\\frac{20}{29} & \frac{21}{29}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\\frac{29}{5}x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{21}{29}x+\frac{20}{29}\cdot \frac{29}{5}x\\\frac{20}{29}x+\frac{21}{29} \cdot \frac{29}{5}x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-\frac{21}{29}+4)x\\(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})x\end{pmatrix}$

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.

$m_{g'}=\frac{(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})x}{(-\frac{21}{29}+4)x}=709/475 \approx 1{,}5$

Wenn du $0$ für $x$ einsetzt stellst du fest, dass der Ursprung auf der Gerade $g'$ liegt.

$\overrightarrow {G'_0}=\begin{pmatrix}(-\frac{21}{29}+4)0\\(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

Damit kannst du die Geradengleichung für $g'$ aufstellen.

$g': y=1{,}5x$

Nun kannst du die beiden Gleichungen $g$ und $g'$ gleichsetzen um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu finden. Dieser ist auch der Fixpunkt der Spiegelung von $g$ an $h$.

$g=g'$

$\frac{29}{5}x=1{,}5x$

$\rightarrow x=0$

Damit kannst du nun die y-Koordinate berechnen, indem du den x-Wert in eine der beiden Gleichungen $g$ und $g'$einsetzt.

$g'_0: y=1{,}5\cdot 0$

$\rightarrow y=0$

$g \longrightarrow^{k=3}g'$ mit $g: y=\frac12x$

Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt $G$ auf der Geraden $g$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G'$ auf der Geraden $g'$ zu finden.

$\overrightarrow {G'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 0 \\0 & k\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\0 & 3\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\\frac12x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x\\\frac32x\end{pmatrix}$

Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.

$x=0$

$\overrightarrow {G_0'}=\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{\frac32x}{3x}=\frac12$

Jetzt stellst du die Geradengleichung für $g'$ auf.

$g': y=\frac12x$

Diese stimmt mit der Gleichung für $g$ überein. Wenn du sie nun gleichsetzt, stellst du fest, dass $g=g'$ für alle $x$ erfüllt ist.

$g=g'$

$\frac12x=\frac12x$

$x=x$