Aufgaben zu Fixpunkten und Fixgeraden

$g\stackrel{\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)}{⟶}{g}^{\prime }$

Um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G^{\prime }$ auf der Geraden $g^{\prime }$ zu finden, verschiebst du zunächst den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G$ auf der Geraden $g$ um den Vektor $\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\overrightarrow{G}+\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2\\ 3x+6\end{array}\right)$

Jetzt kannst du erkennen, dass die untere Koordinate das dreifache der oberen beschreibt.

$\left(\begin{array}{c}x+2\\ 3x+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ 3x^{\prime }\end{array}\right)$

Daraus folgt, dass $g$ und $g^{\prime }$ dieselbe Gerade beschreiben.

$g^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ 3x^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)=g$

Die beiden Geraden sind also identisch.

$g^{\prime }=g$

$g$ ist unter der Parallelverschiebung um $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)$ eine Fixgerade.

$g{⟶}^{\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)}{g}^{\prime }$

Zunächst verschiebst du den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G$ auf der Geraden $g$ um den Vektor $\overrightarrow{v}$, um den Ortsvektor eines beliebigen Punktes $G^{\prime }$ auf der Geraden $g^{\prime }$ zu finden.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\overrightarrow{G}+\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+4\\ 3x+3\end{array}\right)$

Nun kannst du die Steigung der Gerade $g^{\prime }$ berechnen und mit der Steigung $3$ der Anfangsgeraden $g$ vergleichen.

$m_{g^{\prime }}=\frac{3x+3}{x+4}\ne 3$

Die beiden Geraden sind also nicht identisch.

$g{⟶}^{O(0|0),\varphi =180°}{g}^{\prime }$

Du kannst die Formel für die Drehung um 180° am Ursprung für einen beliebigen Punkt $G$ auf der Geraden $g$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G^{\prime }$ auf der Geraden $g^{\prime }$ zu finden.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ -3x\end{array}\right)$

Du kannst nun die Steigung $m$ des Trägergraphens $g^{\prime }$, der die Koordinaten des Punktes $G^{\prime }$ beschreibt, bestimmen.

$m=\frac{-3x}{-x}=3$

Sowohl $g^{\prime }$ hat die Steigung $m=3$ und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g^{\prime }:y^{\prime }=3x^{\prime }$

$g$ und $g^{\prime }$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g^{\prime }$ ist also eine Fixgerade

$g{⟶}^h{g}^{\prime }$ mit $h:y=-\frac{1}{3}x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha$ zwischen der Geraden $h$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha =ta{n}^{-1}(-\frac{1}{3})=-\mathrm{18,43}°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $G$ auf der Gerade $g$ an der Gerade $h$ spiegeln um den Pukt $G^{\prime }$ zu erhalten.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& -\frac{3}{5}\\ -\frac{3}{5}& -\frac{4}{5}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{4}{5}x-\frac{3}{5}\cdot 3x\\ -\frac{3}{5}x-\frac{4}{5}\cdot 3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ -3x\end{array}\right)$

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{-3x}{-x}=3$

Sowohl $g^{\prime }$ hat die Steigung $m=3$ und geht durch den Ursprung.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g^{\prime }:y^{\prime }=3x^{\prime }$

$g$ und $g^{\prime }$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g^{\prime }$ ist also eine Fixgerade

$g{⟶}^{k=\frac{1}{4}}{g}^{\prime }$

Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt $G$ auf der Geraden $g$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G^{\prime }$ auf der Geraden $g^{\prime }$ zu finden.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{4}x\\ \frac{3}{4}x\end{array}\right)$

Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.

$x=0$

$\overrightarrow{G_0^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{\frac{3}{4}x}{\frac{1}{4}x}=3$

Sowohl $g^{\prime }$ hat die Steigung $m=3$.Damit stellst du die zugehörige Geradengleichung auf.

$g^{\prime }:y^{\prime }=3x^{\prime }$

$g$ und $g^{\prime }$ haben dieselbe Geradengleichung und beschreiben daher dieselbe Gerade.

$g^{\prime }$ ist also eine Fixgerade

$g{⟶}^h{g}^{\prime }$ mit $h:y=2x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha$ zwischen der Geraden $h$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha =ta{n}^{-1}(-\frac{1}{3})=\mathrm{63,43}°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $G$ auf der Gerade $g$ an der Gerade $h$ spiegeln um den Pukt $G^{\prime }$ zu erhalten.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{5}& \frac{4}{5}\\ \frac{4}{5}& \frac{3}{5}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}\cdot 3x\\ \frac{4}{5}x+\frac{3}{5}\cdot 3x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{9}{5}x\\ \frac{13}{5}x\end{array}\right)$

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen und mit der Steigung der ursprünglichen vergleichen.

$m_{g^{\prime }}=\frac{\frac{13}{5}x}{\frac{9}{5}x}=\frac{13}{9}\ne 3$

Die beiden Geraden sind also nicht identisch.

$g{⟶}^h{g}^{\prime }$ mit $g:y=\frac{29}{5}x$ und $h:y=\mathrm{2,5}x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha$ zwischen der Geraden $h$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha =ta{n}^{-1}(\mathrm{2,5})=\mathrm{68,2}°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $G$ auf der Gerade $g$ an der Gerade $h$ spiegeln um den Pukt $G^{\prime }$ zu erhalten.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{21}{29}& \frac{20}{29}\\ \frac{20}{29}& \frac{21}{29}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ \frac{29}{5}x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{21}{29}x+\frac{20}{29}\cdot \frac{29}{5}x\\ \frac{20}{29}x+\frac{21}{29}\cdot \frac{29}{5}x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-\frac{21}{29}+4)x\\ (\frac{20}{29}+\frac{21}{5})x\end{array}\right)$

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.

$m_{g^{\prime }}=\frac{(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})x}{(-\frac{21}{29}+4)x}=709/475\approx \mathrm{1,5}$

Wenn du $0$ für $x$ einsetzt stellst du fest, dass der Ursprung auf der Gerade $g^{\prime }$ liegt.

$\overrightarrow{G_0^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}(-\frac{21}{29}+4)0\\ (\frac{20}{29}+\frac{21}{5})0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

Damit kannst du die Geradengleichung für $g^{\prime }$ aufstellen.

$g^{\prime }:y=\mathrm{1,5}x$

Nun kannst du die beiden Gleichungen $g$ und $g^{\prime }$ gleichsetzen um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu finden. Dieser ist auch der Fixpunkt der Spiegelung von $g$ an $h$.

$g=g^{\prime }$

$\frac{29}{5}x=\mathrm{1,5}x$

$\to x=0$

Damit kannst du nun die y-Koordinate berechnen, indem du den x-Wert in eine der beiden Gleichungen $g$ und $g^{\prime }$einsetzt.

$g_0^{\prime }:y=\mathrm{1,5}\cdot 0$

$\to y=0$

$g{⟶}^{k=3}{g}^{\prime }$ mit $g:y=\frac{1}{2}x$

Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt $G$ auf der Geraden $g$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G^{\prime }$ auf der Geraden $g^{\prime }$ zu finden.

$\overrightarrow{G^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ \frac{1}{2}x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3x\\ \frac{3}{2}x\end{array}\right)$

Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.

$x=0$

$\overrightarrow{G_0^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{\frac{3}{2}x}{3x}=\frac{1}{2}$

Jetzt stellst du die Geradengleichung für $g^{\prime }$ auf.

$g^{\prime }:y=\frac{1}{2}x$

Diese stimmt mit der Gleichung für $g$ überein. Wenn du sie nun gleichsetzt, stellst du fest, dass $g=g^{\prime }$ für alle $x$ erfüllt ist.

$g=g^{\prime }$

$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$

$x=x$