$g{⟶}^h{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash longrightarrow^\{h\}g\text{'}$ mit $g:y=\frac{29}{5}xg:\; y=\backslash frac\{29\}\{5\}x$ und $h:y=\mathrm{2,5}xh:\; y=2\{,\}5x$

Zunächst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel $\alpha \backslash alpha$ zwischen der Geraden $hh$ und der x-Achse bestimmen.

$\alpha =ta{n}^{-1}(\mathrm{2,5})=\mathrm{68,2}\mathrm{°}\backslash alpha=tan^\{-1\}(2\{,\}5)=68\{,\}2°$

Nun kannst du den allgemeinen Punkt $GG$ auf der Gerade $gg$ an der Gerade $hh$ spiegeln um den Pukt $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ zu erhalten.

Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.

$m_{g^{\mathrm{\prime }}}=\frac{(\frac{20}{29}+\frac{21}{5})x}{(-\frac{21}{29}+4)x}=709\mathrm{/}475\approx \mathrm{1,5}m\_\{g\text{'}\}=\backslash frac\{(\backslash frac\{20\}\{29\}+\backslash frac\{21\}\{5\})x\}\{(-\backslash frac\{21\}\{29\}+4)x\}=709/475\; \backslash approx\; 1\{,\}5$

Wenn du $00$ für $xx$ einsetzt stellst du fest, dass der Ursprung auf der Gerade $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ liegt.

$\overrightarrow{G_0^{\mathrm{\prime }}}=\left(\begin{array}{c}(-\frac{21}{29}+4)0\\ (\frac{20}{29}+\frac{21}{5})0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; \{G\text{'}\_0\}=\backslash begin\{pmatrix\}(-\backslash frac\{21\}\{29\}+4)0\backslash \backslash (\backslash frac\{20\}\{29\}+\backslash frac\{21\}\{5\})0\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$

Damit kannst du die Geradengleichung für $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ aufstellen.

$g^{\mathrm{\prime }}:y=\mathrm{1,5}xg\text{'}:\; y=1\{,\}5x$

Nun kannst du die beiden Gleichungen $gg$ und $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ gleichsetzen um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu finden. Dieser ist auch der Fixpunkt der Spiegelung von $gg$ an $hh$.

$g=g^{\mathrm{\prime }}g=g\text{'}$

$\frac{29}{5}x=\mathrm{1,5}x\backslash frac\{29\}\{5\}x=1\{,\}5x$

$\to x=0\backslash rightarrow\; x=0$

Damit kannst du nun die y-Koordinate berechnen, indem du den x-Wert in eine der beiden Gleichungen $gg$ und $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$einsetzt.

$g_0^{\mathrm{\prime }}:y=\mathrm{1,5}\cdot 0g\text{'}\_0:\; y=1\{,\}5\backslash cdot\; 0$

$\to y=0\backslash rightarrow\; y=0$

$g{⟶}^{k=3}{g}^{\mathrm{\prime }}g\; \backslash longrightarrow^\{k=3\}g\text{'}$ mit $g:y=\frac{1}{2}xg:\; y=\backslash frac12x$

Du kannst die Formel für die zentrische Streckung für einen beliebigen Punkt $GG$ auf der Geraden $gg$ verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ auf der Geraden $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ zu finden.

Der Ursprung erfüllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.

$x=0x=0$

$\overrightarrow{G_0^{\mathrm{\prime }}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; \{G\_0\text{'}\}=\backslash begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}$

Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.

$m=\frac{\frac{3}{2}x}{3x}=\frac{1}{2}m=\backslash frac\{\backslash frac32x\}\{3x\}=\backslash frac12$

Jetzt stellst du die Geradengleichung für $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ auf.

$g^{\mathrm{\prime }}:y=\frac{1}{2}xg\text{'}:\; y=\backslash frac12x$

Diese stimmt mit der Gleichung für $gg$ überein. Wenn du sie nun gleichsetzt, stellst du fest, dass $g=g^{\mathrm{\prime }}g=g\text{'}$ für alle $xx$ erfüllt ist.

$g=g^{\mathrm{\prime }}g=g\text{'}$

$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x\backslash frac12x=\backslash frac12x$

$x=xx=x$