Welche Punkte sind unter diesen Abbildungen Fixpunkte?
gâ¶hgâČ mit g:y=61âx und h:y=2,5x
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
gâ¶hgâČ mit g:y=529âx und h:y=2,5x
ZunÀchst kannst du mit dem Arcustangens den Winkel α zwischen der Geraden h und der x-Achse bestimmen.
α=tanâ1(2,5)=68,2°
Nun kannst du den allgemeinen Punkt G auf der Gerade g an der Gerade h spiegeln um den Pukt GâČ zu erhalten.
GâČ=(xâČyâČâ)=(cos2αsin2αâsin2αâcos2αâ)â (xyâ)=(â2921â2920ââ2920â2921ââ)â (x529âxâ)=(â2921âx+2920ââ 529âx2920âx+2921ââ 529âxâ)=((â2921â+4)x(2920â+521â)xâ)
Nun kannst du die Steigung der gespiegelten Gerade ausrechnen.
mgâČâ=(â2921â+4)x(2920â+521â)xâ=709/475â1,5
Wenn du 0 fĂŒr x einsetzt stellst du fest, dass der Ursprung auf der Gerade gâČ liegt.
G0âČââ=((â2921â+4)0(2920â+521â)0â)=(00â)
Damit kannst du die Geradengleichung fĂŒr gâČ aufstellen.
gâČ:y=1,5x
Nun kannst du die beiden Gleichungen g und gâČ gleichsetzen um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu finden. Dieser ist auch der Fixpunkt der Spiegelung von g an h.
g=gâČ
529âx=1,5x
âx=0
Damit kannst du nun die y-Koordinate berechnen, indem du den x-Wert in eine der beiden Gleichungen g und gâČeinsetzt.
g0âČâ:y=1,5â 0
ây=0
Der Fixpunkt der Abbildung ist also der Ursprung O=(0âŁ0).
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gâ¶k=3gâČ mit g:y=21âx
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung
Die zentrische Streckung bildet Urprungsgeraden immer auf sich selbst ab.
Dies erkennt man auch rechnerisch:
gâ¶k=3gâČ mit g:y=21âx
Du kannst die Formel fĂŒr die zentrische Streckung fĂŒr einen beliebigen Punkt G auf der Geraden g verwenden, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes GâČ auf der Geraden gâČ zu finden.
GâČ=(xâČyâČâ)=(k0â0kâ)â (xyâ)=(30â03â)â (x21âxâ)=(3x23âxâ)
Der Ursprung erfĂŒllt diese Voraussetzung, was du durch Einsetzten rausfindest.
x=0
G0âČââ=(00â)
Nun kannst du die Steigung der gestreckten Gerade ausrechnen.
m=3x23âxâ=21â
Jetzt stellst du die Geradengleichung fĂŒr gâČ auf.
gâČ:y=21âx
Diese stimmt mit der Gleichung fĂŒr g ĂŒberein. Wenn du sie nun gleichsetzt, stellst du fest, dass g=gâČ fĂŒr alle x erfĂŒllt ist.
g=gâČ
21âx=21âx
x=x
Alle Punkte auf g werden wieder auf Punkte auf gâČ abgebildet. Die komplette Gerade g ist daher eine Fixgerade.
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