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Ähnlichkeit

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Zwei geometrische Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie in ihrer Form exakt miteinander übereinstimmen. Eine ähnliche Figur kann verschoben, gedreht oder sogar gespiegelt sein.

Ihre Größe kann dabei verschieden sein, sodass eine ähnliche Figur um den Ähnlichkeitsfaktor k>0k>0 vergrößert bzw. verkleinert wurde.

Sind Figuren ähnlich, wie in der Abbildung die Rechtecke A, BA,\ B oder Fünfecke C, DC,\ D so schreibe:

Ähnliche Figuren

Wir betrachten eine geometrische Figur. Eine zweite Figur ist zu dieser ähnlich, wenn sie aus einer, oder der Hinteraneinanderreihung folgender Prozesse (Abbildungen oder auch Transformationen genannt) hervorgeht:

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  • Verschiebung aller Punkte um die gleiche Strecke. Diese Strecken müssen alle in dieselbe Richtung zeigen, also parallel sein.

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  • Drehung um einen Winkel α\alpha.

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  • Vergrößerung bzw. Verkleinerung. Diese werden geometrisch durch die zentrische Streckung konstruiert.

  • Jede Seite der Figur wurde um den Ähnlichkeitsfaktor kk verkleinert.

Ähnlichkeitsfaktor und dessen Berechnung

Der Ähnlichkeitsfaktor oder Ähnlichkeitsmaßstab k>0k>0 gibt den Faktor der Vergrößerung bzw. Verkleinerung an.

  • Wird eine Figur um das Doppelte vergrößert, ergibt sich der Maßstab k=2k=2.

  • Wird eine Figur auf ein Drittel seiner Größe verkleinert, beträgt k=13k=\frac{1}{3}.

Ähnlichkeitsfaktor berechnen

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Sind zwei ähnliche Figuren AA und BB gegeben, so stehen alle ihre Seiten im Verhältnis des Ähnlichkeitsfaktors kk.

Daher reicht es aus, zwei Seiten, bspw. b, bb,\ b' auszuwählen und diesen zu bestimmen:

Seitenlängen berechnen bei gegebenem Ähnlichkeitsfaktor

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Aus dem nebenstehenden Dreieck soll eine ähnliche Figur konstruiert werden, welche um den Ähnlichkeitsfaktor k=2,5k=2{,}5 vergrößert wurde.

Die neuen Seitenlängen betragen nun:

  • a=ak=10,22,5=25,5 cm.a'=a\cdot k=10{,}2\cdot2{,}5=25{,}5~cm.

  • b=bk=11,52,5=28,75 cm.b'=b\cdot k=11{,}5\cdot2{,}5=28{,}75~cm.

  • c=ck=92,5=22,5 cm.c'=c\cdot k=9\cdot2{,}5=22{,}5~cm.

Die Länge einer Seite xx' lässt sich durch die Formel

berechnen.

Fehlvorstellung: Gleiche Form

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Das Wort Ähnlichkeit in unserem Sprachgebrauch führt zu einer anderen Vorstellung, wie sie in der Mathematik gemeint ist.

Diese Vierecke haben in etwa die gleiche Form, sind im mathematischen Sinne aber nicht ähnlich, denn für ihre Seiten gilt:

aa=bb=k, aber cck, ddk\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=k,~\text{aber}~\dfrac{c}{c'}\neq k,~\dfrac{d}{d'}\neq k

Somit sind sie nicht ähnlich, schreibe ABA\nsim B.

Zusammenhang zwischen Ähnlichkeit und Kongruenz

Kongruente Dreiecke sind durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung ineinander überführbar. Ähnliche Dreiecke sind zusätzlich mit einer Vergrößerung/Verkleinerung zu erhalten, was Ähnlichkeit als Konzept etwas allgemeiner macht als Kongruenz. Deshalb gilt auch:

  • Kongruente Dreiecke sind immer ähnlich zueinander.

  • Ähnliche Dreiecke müssen nicht kongruent sein (aufgrund der unterschiedlichen Größen).

Applet: Ähnliche Figur durch Vergrößerung/Verkleinerung

Durch die zentrische Streckung wird eine Figur in einem Maßstab kk vergrößert/verkleinert. Diese Figur ist ähnlich zur ursprünglichen Figur. Verwende den Schieberegler für kk um diese Figur zu skalieren.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken

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