Wie kommt man auf den Beweis

Lösungsweg

Wir wollen zeigen, dass für alle viVv_i \in V und λiK\lambda_i \in K gilt:
f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)    ff\bigg(\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot_{V}v_{i}\bigg) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} \cdot_{W}f(v_{i}) \iff f ist eine lineare Abbildung.
Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zu Nutze machen.

Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

Für die Rückrichtung wissen wir, dass ff eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die Additivität und Homogenität anwenden können.
Kommentieren Kommentare