Satz

Eine Abbildung f:VWf:V\to W zwischen zwei KK-Vektorräumen VV und WW ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele v1,,vnVv_1,\dots,v_n \in V und λ1,,λnK\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K gilt:

f(i=1nλiVvi)=i=1nλiWf(vi)f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_W}f\left(v_i\right)
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