Für beliebige reelle Zahlen %%x%%, %%y%% definieren wir %%x\heartsuit y%% %%=x+y^2%% , also zum Beispiel %%5\heartsuit 4 = 21%%.

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

%%a\heartsuit 1\geq1\heartsuit a%% für alle %%a\in ℝ%%.

Wir werden zeigen, dass die Aussage falsch ist. Dazu müssen wir mindestens eine Zahl für %%a%% finden, so dass die Gleichung falsch ist.

%%a\heartsuit 1\geq1\heartsuit a%%

Schreibe das Herz wie definert um.

%%a+1^2\geq1+a^2%%

Suche ein %%a%%, sodass die rechte Seite größer ist als die linke Seite.

z.B. %%a=7%%

%%7+1^2\geq1+7^2%%

Rechne beide Seiten aus.

%%8\geq50%%

Ist eine falsche Ungleichung.

%%\Rightarrow%% Diese Aussage ist falsch.

%%a\heartsuit 1<1\heartsuit a%% für alle %%a\in\mathbb{R}%%.

Wir werden zeigen, dass die Aussage falsch ist. Dazu müssen wir mindestens eine Zahl für %%a%% finden, so dass die Ungleichung falsch ist.

%%a\heartsuit 1<1\heartsuit a%%

Schreibe ds Herz wie definert um.

%%a+1^2<1+a^2%%

%%|-1%%

%%a<a^2%%

Suche ein %%a%%, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. %%a=0,5%%

%%0,5<0,5^2%%

Berechne %%0,5^2%%

%%0,5<0,25%%

Diese Ungleichung ist falsch.

%%\Rightarrow%% Diese Aussage ist falsch.

Es gibt ein %%a\in ℝ%% für das gilt: %%a\heartsuit 1\geq1\heartsuit a%%.

%%a\heartsuit\;1\geq1\heartsuit\;a%%

Schreib das Herz wie definert um.

%%a+1^2\geq1+a^2%%

%%|-1%%

%%a\geq a^2%%

Suche ein %%a%%, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. %%a=0,5%%

%%0,5\ge 0,5^2%%

Rechne aus.

%%0,5 \geq 0,25%%

Dies Ungleichung ist wahr, es gibt also ein %%a%%, das die Ungleichung erfüllt.

%%\Rightarrow%% Die Gesamtaussage ist wahr.

Die Anzahl der Paare %%(x,y)%% mit %%x\heartsuit y = 10%%, wobei %%x, y\;\in\;\mathbb{N}_0%% , ist %%4%%.

Suche alle Paar %%(x,y)%%, die die Gleichung erfüllen. Sind es genau 4 ist die Aussage wahr.

%%x\heartsuit y=10%%

Schreibe Herz wie definiert um.

%%x+y^2=10%%

Löse nach y auf.

%%y^2=10-x%%

Probiere verschiedene y aus. Dabei bietet sich die Reihenfolge %%0,1,2,…%% an.

%%0^2=0=10-x\Rightarrow x=10%%

%%(10,0)%% ist also ein gesuchtes Paar.

%%1^2=1=10-x\Rightarrow x=9%%

%%(9,1)%% ist das zweite Paar.

%%2^2=4=10-x\Rightarrow x=6%%

%%(6,2)%% ist das dritte Paar.

%%3^2=9=10-x\Rightarrow x=1%%

%%(1,3)%% ist das vierte Paar.

%%4^2=16=10-x\;\Rightarrow x=-6\;\not\in\mathbb{N}_0%%

Für %%y=4%% und auch alle größeren y muss x negativ werden. Da das aber nicht erlaubt ist, gibt es genau die vier gefundenen Paare.

%%\Rightarrow%% Die Aussage ist wahr.