Aufgaben

Von 200 Autos, die überprüft wurden haben 78 Mängel an den Bremsen, 72 Mängel an dem Motor und 56 Mängel an der Lichtanlage. Genau 20 Fahrzeuge hatten Probleme an Bremsen und Motor, 19 hatten Mängel an Motor und Lichtanlage und 26 Fahrzeuge an Bremsen und der Lichtanlage. 12 Autos hatten Probleme in allen drei untersuchten Bereichen. Wieviele Fahrzeuge hatten keine Mängel?

Venn-Diagramm zeichnen

%%B%% = Menge aller überprüften Fahrzeuge mit Mängeln an den Bremsen

%%M%% = Menge aller überprüften Fahrzeuge mit Mängeln am Motor

%%L%% = Menge aller überprüften Fahrzeuge mit Mängeln an der Lichtanlage

Nach Angabe gilt:

%%\begin{array}{lcl} |B|&=&78 \\ |M|&=&72 \\ |L|&=&56 \end{array}%%

und außerdem:
%%\begin{array}{lcl} |B\cap M| &=&20 \\ |M\cap L| &=&19 \\ |B\cap L| &=&26 \\ \end{array}%%

sowie:
%%\begin{array}{lcl} |B\cap M \cap L| &=&12 \end{array}%%

Zeichne ein Venn-Diagramm,

und trage als erstes in die Schnittmenge aller drei Mengen die 12 ein.

unvollständiges Venn-Diagramm

Berechne die restlichen Mengen: %%|(B \cap M)\backslash L|=20-12=8%%
%%|(M \cap L)\backslash M|=19-12=7%%
%%|(B \cap L)\backslash M|=26-12=14%%

%%|B\backslash (M \cup L)|=78-8-12-14=44%%
%%|M \backslash (L \cup B)|=72-8-12-7=45%%
%%|L \backslash (M \cup B)|=56-7-14-12=23%%
Trage dies nun alles in das Venn-Diagramm ein!

Venn-Diagramm zu den Mengen B,M,L

Anzahl der überprüften Autos ohne Mängel:

%%200 - (12+8+7+14 + 44+45+23)= 200-(12+ 29+112)=200-153=47%%

Beurteile anhand des Diagrammes ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind!

Venn-Diagramm mit Beispielzahlen

a) 14 %%\in%% A
b) 17 %%\in%% C
c) %%\{85,37,1\} \in B%%
d) %%\{42,50,16\}\in B%%
e) %%\{ 51,89,14\} \notin C%%
f) %%\{ 23,25,80\} \notin A%%

Teilaufgabe a)

Diese Aussage ist falsch, da die 14 in der Menge C liegt.

Teilaufgabe b)

Diese Aussage ist wahr.

Teilaufgabe c)

Diese Aussage ist falsch, da nur die 1 in der Menge B liegt.

Teilaufgabe d)

Diese Aussage ist falsch, da die 16 in der Menge A liegt.

Teilaufgabe e)

Diese Aussage ist falsch, da alle drei Elemente in C liegen.

Teilaufgabe f)

Diese Aussage ist wahr, da die Zahl 80 nicht in der Menge A liegt.

Schraffiere die gegebene Menge in einem Venn-Diagramm!

%%(A \cup C) \cap (B \cup C)%%

Venn-Diagramm

Zeichne ein Venn-Diagramm!

Venn-Diagramm mit den Mengen A,B,C

Schraffiere zuerst die Mengen %%A\cup C%% und %%B \cup C%% und danach die Menge, die in den beiden schraffierten Bereichen liegt.

Die gesuchte Menge ist die grüne Menge!

Venn-Diagramm Lösung

Unter 100 Schülern wird eine Umfrage bezüglich ihrer Lieblingssportart gemacht, wobei nur nach Handball, Fussball und Leichtathletik gefragt wird.

12 Schüler spielen gerne Fussball, sind aber weder für Handball noch für Leichtathletik zu begeistern.
5 Schüler spielen gerne Handball, aber nicht Fussball und mögen auch nicht Leichtathletik.
30 Schüler spielen gerne zwei von den Sportarten, wobei darunter 20 sind die gerne Fussball und Handball spielen und 6 Schüler die gerne Handball spielen und Leichtathletik mögen.
Genau 10 Schüler mögen alle drei Sportarten gleich gern.
27 Schüler betreiben am liebsten gar keinen Sport.

  1. Wieviel Schüler mögen gerne Leichtathletik, aber spielen weder Handball noch Fussball gern?

  2. Wieviele Schüler mögen Leichtathletik nicht?

  3. Wieviele Schüler, die gerne Fussball spielen, spielen nicht gerne Handball?

Löse die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms!

Venn-Diagramm

Trage die gegebenen Daten in ein Venn-Diagramm ein!

Venn-Diagramm der Mengen H,F,L

Berechne die fehlenden Felder:
%%| F \cap L|=\\= \text{|{Schüler, die zwei Sportarten gern mögen}|}-|F \cap H|-|H \cap L|\\= 30-20-6 =4%%

%%| L \cap \overline{H} \cap \overline{F}|= 100 - \text{(alle anderen)} \\= 100-5-20-10-6-4-12-27=16%%

So sieht das fertige Venn-Diagramm dann aus:

Venn-Diagramm Lösung

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Zu topic-folder Aufgaben zum Venn-Diagramm:
Sarittaa04 2017-04-05 07:37:33
Hallo :-),
Wann gilt (A∩B)=(A∪B
Special 2017-04-05 11:22:41
Hallo Saritta04, welche Aufgabe meinst du genau? Ohne Zusammenhang macht der Ausdruck (A∩B)=(A∪B) natürlich keinen Sinn.

Viele Grüße
Sarittaa04 2017-04-05 20:18:10
Hallo, erstmal danke für die schnelle Reaktion. Dies war auf keine Aufgabe bezogen. Ich habe mich allgemein gefragt, ob man 2 Mengen A und B so darstellen kann, dass der Durchschnitt von A und B gleich die Vereinigung von A und B sein kann und wenn ja, wann gilt das.
Liebe Grüße
Special 2017-04-06 06:19:58
Hallo, das gilt genau dann wenn A=B gilt, also wenn die beiden Mengen die gleichen Elemente haben. Dafür musst du zwei Richtungen zeigen: Wenn A=B, dann gilt (A∩B)=(A∪B) und umgekehrt wenn A ungleich B, dann gilt nicht (A∩B)=(A∪B). Probier es einfach mal selbst es dir zu überlegen ;)

Viele Grüße
Sarittaa04 2017-04-06 08:55:42
Danke schön , jetzt habe ich es verstanden :-)
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