Nimm an, du hast zwei rote und drei blaue Bausteine, die untereinander nur durch die Farbe unterschieden werden können. Wie viele Möglichkeiten gibt es, damit einen vier Steine hohen Turm zu bauen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Du kannst einen vier Steine hohen Turm entweder mit 1 roten und 3 blauen Steinen oder 2 roten und 2 blauen Steinen bauen.
Der Turm kann nicht nur blaue Steine enthalten, weil dir nur 3 zur Verfügung stehen und kann aus demselben Grund auch nicht mehr als 2 rote Steine verwenden.
Die Anzahl der Möglichkeiten, den Turm aus 1 roten und 3 blauen Steinen zu bauen entspricht der Aufgabe 1 roten Stein an eine der 4 möglichen Positionen zu legen und 3 blaue Steine an die restlichen 3 Positionen zu legen. Also "1 aus 4" und "3 aus 3". Hierbei wird die Reihenfolge nicht beachtet, weil die blauen Steine nicht unterscheidbar sind, und es wird nicht zurückgelegt.
(41)(33)=41=4\displaystyle \binom{4}{1}\cdot\binom{3}{3}=4\cdot1=4

Die Anzahl der Möglichkeiten, den Turm aus 2 roten und 2 blauen Steinen zu bauen entspricht der Aufgabe 2 rote Steine an zwei der 4 möglichen Positionen zu legen und 2 blaue Steine an die restlichen 2 Positionen zu legen. Also "2 aus 4" und "2 aus 2". Hierbei wird die Reihenfolge nicht beachtet, weil die blauen und roten Steine nicht unterscheidbar sind, und es wird nicht zurückgelegt.
(42)(22)=61=6\displaystyle \binom{4}{2}\cdot\binom{2}{2}=6\cdot1=6
Insgesamt ergeben sich also 4+6=104+6=10 Möglichkeiten den Turm zu bauen.

Alternativer Lösungsweg

Wenn alle (insgesamt 55) Steine unterschiedlich wären, gäbe es 5!(54)!\frac{5!}{(5-4)!} Möglichkeiten.
Da aber einerseits 22 Steine gleich (rot) und drei Steine in sich auch gleich (blau) sind, muss diese Zahl noch durch 2!3!2!\cdot3! geteilt werden, sprich insgesamt 5!(54)!2!3!=12012=10\frac{5!}{(5-4)!\cdot 2!\cdot 3!} = \frac{120}{12} = 10 Möglichkeiten.