Beas und Kais Handy-PINs sind verschieden, bestehen aber aus den gleichen Ziffern 5, 7, 3 und 9. Wie groß muss ihre Differenz mindestens sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Sie unterscheiden sich um mindestens 18, z. B. 3597 ? 3579.

Es gibt 24 verschiedene PIN. Dabei haben zwei verschiedene PIN eine besonders kleine Differenz, wenn die ersten beiden Stellen identisch sind, denn nur dann liegt die Differenz unter 100.
Liegen die beiden hinteren Ziffern näher beieinander, ist die Differenz niedriger. Also können die beiden hinteren Ziffern z.B. 35 und 53 sein oder 57 und 75 oder 79 und 97. In allen drei Fällen beträgt der Unterschied 18.

Allgemeiner Lösungsansatz:
Nehmen wir an, wir wollen 2 Ziffern a\textcolor{blue}{a} und b\textcolor{red}{b} vertauschen, die in Positionen AA und BB stehen, z.B.:
X=5  a  3  bY=5  b  3  a\begin{aligned} X = 5\;\textcolor{blue}{a}\;3\;\textcolor{red}{b}\\ Y = 5\;\textcolor{red}{b}\;3\;\textcolor{blue}{a}\\ \end{aligned}
mit A=3,B=1A = 3, B = 1. Die Ersetzung ab\textcolor{blue}{a} \to \textcolor{red}{b} erhöht die Zahl um
(ba)10A1(\textcolor{red}{b} - \textcolor{blue}{a})\cdot 10^{A-1}
Die Ersetzung ba \textcolor{red}{b} \to \textcolor{blue}{a} erhöht die Zahl wiederum um
(ab)10B1(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \cdot 10^{B-1}
wobein auch "negative Erhöhungen" (= Verringerungen) möglich sind. Insgesamt erhöht sich die Zahl damit um
YX=(ba)(10A110B1)Y-X =(\textcolor{red}{b} - \textcolor{blue}{a}) \cdot (10^{A-1} - 10^{B-1})
Der Betrag dieser Differenz wird möglichst klein, wenn sowohl b\textcolor{red}{b} und a\textcolor{blue}{a}, als auch 10A110^{A-1} und 10B110^{B-1} möglichst nahe beieinander liegen. Im Fall der 4-stelligen Pin aus den Ziffern 3,5,7,9 ist die Wahl A=2,B=1A=2,B=1 (die letzten beiden Ziffern werden vertauscht) sowie (ba)=2 (\textcolor{red}{b}-\textcolor{blue}{a}) = 2 optimal, z.B.
X=3597Y=3579\begin{aligned} X=3597\\ Y=3579\\ \end{aligned}
YX=(2)(10211011)=29=18\Rightarrow Y - X = (2)\cdot(10^{2-1}-10^{1-1}) = 2 \cdot 9 = 18
Die minimale Differenz zwischen 2 PINs ist demnach 18.