Aufgaben

Würfle 100mal und bestimme die relative Häufigkeit der Augenzahl 6 für die ersten Zwanzig, die zweiten Zwanzig, dritten Zwanzig, vierten Zwanzig und die fünften Zwanzig Würfe.

Ergebnisse fallen unterschiedlich aus.

Allgemeine Formel zur Anwendung = %%\frac{Anzahl\;der\;Zahl\;6}{Wurfanzahl}%%

%%\frac2{20}=0,1=10\% %%

Hans würfelt während der ersten zwanzig Würfe zweimal die Zahl 6.

%%\frac6{20}=0,3=30\% %%

Hans würfelt während der zweiten zwanzig Würfe 6-mal die Zahl 6.

%%\frac4{20}=0,2=20\% %%

Hans würfelt während der dritten zwanzig Würfe 4-mal die Zahl 6.

%%\frac0{20}=0\% %%

Hans würfelt während der vierten zwanzig Würfe 0-mal die Zahl 6.

%%\frac{10}{20}=0,5=50\% %%

Hans würfelt während der fünften zwanzig Würfe 10-mal die Zahl 6.

Bei einer Schulaufgabe ergab sich für die Noten folgende Verteilung:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl

3

2

9

6

7

2

Berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Noten!

%%3+2+9+6+7+2= 29%%

Die Gesamtzahl der Schüler kann aus der Anzahl der einzelnen Noten ermittelt werden.

Berechne für jede Note die relative Häufigkeit.

%%\frac3{29}=0,1034\approx10\% %%

%%\frac2{29}=0,06897\approx7\% %%

%%\frac9{29}=0,3103\approx31\% %%

%%\frac6{29}=0,2069\approx21\% %%

%%\frac7{29}=0,2414\approx24\% %%

%%\frac2{29}=0,06897\approx7\% %%

In einer Schulklasse ergaben sich bei einer Mathematikschulaufgabe folgende Noten:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl der Schüler

1

4

11

8

5

1

Als Notendurchschnitt gibt der Lehrer 3,5 an.

  1. Prüfe, ob der Notendurchschnitt exakt angegeben oder gerundet wurde.

  2. Ermittle die relativen Häufigkeiten der einzelnen Noten und erstelle ein geeignetes Diagramm zur Darstellung der Notenverteilung.

Aufgabe 1

1 mal Note 1

4 mal Note 2

11 mal Note 3

8 mal Note 4

5 mal Note 5

1 mal Note 6

Berechne daraus das arithmetische Mittel.

$$\frac{1\cdot1+2\cdot4+3\cdot11+4\cdot8+5\cdot5+6\cdot1}{1+4+11+8+5+1}$$

Rechne aus und vereinfache.

%%=\frac{105}{30}=3,5%%

%%\Rightarrow%% Der Notendurchschnitt ist exakt angegeben worden.

Aufgabe 2

Ermittle die relative Häufigkeit der jeweiligen Note , indem du die Häufigkeit der Note durch die Gesamtanzahl der Schüler dividierst.

Note 1: %%\frac1{30}%% %%=0,0\overline3=3,\overline3\% %%

Note 2: %%\frac4{30}%% %%=0,1\overline3=13,\overline3\% %%

Note 3: %%\frac{11}{30}%% %%=0,3\overline6=36,\overline6\% %%

Note 4: %%\frac8{30}%% %%=0,2\overline6=26,\overline6\% %%

Note 5: %%\frac5{30}%% %%=0,1\overline6=16,\overline6\% %%

Note 6: %%\frac1{30}%% %%=0,0\overline3=3,\overline3\% %%

Diagramm:

 

Ein Viertel aller Schüler einer Klasse hat einen Hund, die Hälfte der Schüler hat eine Katze. Kein Schüler hat beide Haustiere. Ermittle den Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.

Sei x der Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere hat.

%%x + \frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1%%

Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1.
Dabei ist %%\frac{1}{4}%% die relative Häufigkeit der Schüler, die einen Hund haben und %%\frac{1}{2}%% die relative Häufigkeit der Schüler, die eine Katze haben.

%%x=1-\frac34%%

Nach x auflösen.

%%x=\frac14=0,25=25\% %%

In einer Schulklasse sind 28 Schüler, darunter 12 Mädchen. Bei einer Umfrage gaben 7 Mädchen und 8 Buben an, Sport sei ihr Lieblingsfach.

Ist das Fach Sport laut der Umfrage bei den Mädchen oder bei den Jungen in der Klasse beliebter?

Anzahl Mädchen in der Klasse %%=12%%

Anzahl Jungen in der Klasse %%=\;28-12=16%%

Relative Häufigkeit der Mädchen, die am liebsten Sport mögen  %%=\frac7{12}\approx58\% %%

Relative Häufigkeit der Jungen, die am liebsten Sport mögen %%=\frac8{16}=\frac12=50\% %%

%%\Rightarrow%% Sport ist bei den Mädchen insgesamt beliebter.

In einem Hörsaal sitzen 150 Studenten. 110 von ihnen sprechen nur Englisch, 20 nur Spanisch und 15 sprechen beide Sprachen.

Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die mindestens eine der beiden Sprachen sprechen?

Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und / oder Spanisch sprechen, geteilt durch die Gesamtanzahl der Studenten.

Relative Häufigkeit:

%%\frac{110+20+15}{150}=\frac{145}{150}\approx\mathbf{96}\boldsymbol,\mathbf7\boldsymbol\% %%

Also sprechen ungefähr 96,7% der Studenten mindestens eine der beiden Sprachen.

Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die keine der beiden Sprachen sprechen?

Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und / oder Spanisch sprechen, ziehe diese von 1 ab und teile durch die Gesamtanzahl der Studenten.

%%1-\frac{110+20+15}{150}=1-\frac{145}{150}=%%

Schreibe auf eine Bruch.

%%=\frac{150-145}{150}=\frac{5}{150}=\frac{1}{30}\approx3,33\% %%

Als Hausaufgabe sollten die Schüler der Klasse 6 b mindestens 100-mal würfeln und die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Augenzahlen aufgetreten sind, mit Hilfe einer Tabelle oder eines Diagramms darstellen.

Am nächsten Tag vergleichen Manfred, Peter, Klaus und Christian ihre Ergebnisse:

Diagrammarten

Nach einem kurzen Blick in Manfreds Heft sagt Christian: „Du hast wohl in der letzten Mathestunde nicht richtig aufgepasst!“ Wie kommt er dazu?

Peter betrachtet kurz die Diagramme und verkündet dann laut: „Christian hat von uns vier den besten Würfel. Bei ihm fällt am häufigsten die ‚6’.“ Wie kommt Peter zu dieser Aussage? Glaubst auch du, dass Christian den besten Würfel hat?

Interpretiere relative Häufigkeit

Christian hat mit %%\frac{1}{5}=0,2=20\text{%}%% den höchsten Anteil von Würfen mit 6 Augen.
Bei vielen Würfelspielen wäre er also im Vorteil.

Mathematisch betrachtet ist der beste Würfel aber der, bei dem alle Seiten gleich wahrscheinlich sind. Denn das Würfeln ist ein Laplace-Experiment, das heißt es besteht bei jedem Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Zudem kann man die Ergebnisse aller Jungen nicht vergleichen, weil sie nicht alle gleich oft gewürfelt haben. Durch häufigeres würfeln werden die Ergebnisse genauer.

Bestimme die relative Häufigkeit der natürlichen Zahlen von 1 bis 100, die

  1. durch 2
  2. durch 3
  3. durch 2 oder 3 teilbar sind.

Teilaufgabe 1

Bestimme zunächst die Anzahl der Zahlen, die durch 2 teilbar sind. Es sind nur alle geraden Zahlen zwischen 1 und 100 durch 2 teilbar. Das sind 50 Stück. Andere Möglichkeit auf die 50 Zahlen zu kommen:

Multipliziere die Zahlen 1,2,3,...,50 mit der Zahl 2. Das ergibt die geraden Zahlen kleiner gleich 100 und das sind wieder 50 Stück.

%%\Rightarrow%% Die relative Häufigkeit ist %%\frac{50}{100}=\frac{1}{2}=0.5=50\% %%

Teilaufgabe 2

Bestimme nun die Anzahl der Zahlen, die durch 3 teilbar sind.

Multipliziere die Zahlen 1,2,3,...,33 mit der Zahl 3. Das ergibt die Zahlen 3,6,9,...,99 kleiner gleich 100 und das sind 33 Stück.

%%\Rightarrow%% Die relative Häufigkeit ist %%\frac{33}{100}=0.33=33.3\% %%

Teilaufgabe 3

Verwende hier die 3te Rechregel zur relativen Häufigkeit.

%%h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)%%

Sei A die Menge der Zahlen, die durch 2 teilbar sind und B die Menge der Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Dann ist %%A \cup B%% die gesuchte Menge, es fehlt noch %%A \cap B%%. Das sind alle Zahlen, die durch 2 und durch 3, also durch 6, teilbar sind. Also multipliziere wieder die Zahlen 1,2,...,16 mit der Zahl 6, um alle durch 6 teilbaren Zahlen kleiner 100 zu erhalten. Das sind 16 Stück.

Damit ist die relative Häufigkeit der Zahlen, die durch 2 und/oder 3 teilbar sind $$\frac{50+33-16}{100}=\frac{67}{100}=0,67=67\%$$

30 Würfe mit einem Würfel ergaben folgenes Ergebniss:

Augen

1

2

3

4

5

6

Anzahl

4

6

2

6

5

7

Überprüfe mit diesen Zahlen die 3. Eigenschaft von relativer Häufigkeit

%%h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)%%

durch rechnen.

Benutze dazu die Ereignisse
A: Die Menge der Würfe mit maximal 3 Augen.
B: Die Menge der Würfe mit gerader Augenzahl.

Überprüfen der 3ten Rechenregel vom Artikel "Relative Häufigkeit" anhand eines Beispiels

%%A=\{1,2,3\}, B=\{2,4,6\}%%

Bestimme die Mengen A und B aus dem Text.

%%h_n(A\cup B)=\frac{H(A\cup B)} {30}=\frac{H(\{1,2,3,4,6\})} {30}=\frac{4+6+2+6+7} {30}=\frac{25} {30}%%

Berechen die relative Häufigkeit von %%A \cup B%%.

%%h_n(A)=\frac{H(A)} {30}=\frac{H(\{1,2,3\})} {30}=\frac{4+6+2} {30}=\frac{12} {30}%%

Berechen die relative Häufigkeit von A.

%%h_n(B)=\frac{H(B)} {30}=\frac{H(\{2,4,6\})} {30}=\frac{6+6+7} {30}=\frac{19} {30}%%

Berechen die relative Häufigkeit von B.

%%h_n(A\cap B)=\frac{H(A\cap B)} {30}=\frac{H(\{2\})} {30}=\frac{6} {30}%%

Berechen die relative Häufigkeit von %%A \cap B%%.

%%h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)%%
%%\Leftrightarrow\frac{25} {30}=\frac{12} {30}+\frac{19} {30}-\frac{6} {30}%% %%\Leftrightarrow\frac{25} {30}=\frac{25} {30}%%

Setze in die Formel ein.

Gleichheit bestätigt die Formel.

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