Eine bestimmte Maschine besteht aus 8 unabhängig voneinander arbeitenden Teilen. Jedes Teil funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit p nicht. Fallen mindestens 2 dieser Teile aus, wird die Maschine funktionsunfähig.
Wie groß darf p, auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet, höchstens sein, damit die Maschine mit (mindestens) 80% Sicherheit arbeiten kann?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen mit Wahrscheinlichkeiten

Definiere die Zufallsvariable XX="Anzahl der Teile der Maschine, die nicht funktionieren"
P("Maschine la¨uft")P(\text{"Maschine läuft"})= P(X1)P\left(X\leq1\right)
XX hat Binomialverteilung mit n=8n=8. Es gibt nämlich (8k)\begin{pmatrix}8\\ k \end{pmatrix} Möglichkeiten, dass kk der 88 Teile nicht funktionieren; für jedes einzelne Teil ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht funktioniert, gleich pp.
P(X=k)=(8k)pk(1p)8k\mathrm P(\mathrm X=\mathrm k)=\begin{pmatrix}8\\\mathrm k\end{pmatrix}\cdot p^\mathrm k\cdot\left(1-\mathrm p\right)^{8-\mathrm k}
Du brauchst für diese Aufgabe nun die kumulierte Wahrscheinlichkeit, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X1X \leq 1 ist.
Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich als 80%80\% und schaue im Tafelwerk der Stochastik nach, für welche pp die Ungleichung immer noch erfüllt ist.
P(X1)0,8\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\geq0,8
Dem Tafelwerk entnimmst du: Für alle Werte von pp die unter 0,10,1 liegen, ist die Ungleichung sicher erfüllt, für p=0,125p=0,125 bereits nicht mehr.
p0,1\Rightarrow \mathrm p\leq 0,1