Löse die Bruchgleichung:

%%\frac{2+x}{1-x}=\frac{3x}{2-3x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Bei jeder Bruchgleichung muss man zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen.

%%\dfrac{2+x}{1-x}=\dfrac{3x}{2-3x}%%

Kein Nenner darf %%0%% werden.

%%1-x=0 \Leftrightarrow x=1%%

%%2-3x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac23%%

Damit lautet die Definitionsmenge: %%D=\mathbb{Q}\backslash\left\{\dfrac23,1\right\}%%

Bruchgleichung lösen

Bei dieser Bruchgleichung bietet sich das Verfahren Über Kreuz multiplizieren an.

%%\dfrac{2+x}{ \color{red}{1-x}}=\dfrac{3x}{\color{blue}{2-3x}}%%

%%|\cdot (1-x)%% %%|\cdot (2-3x)%%

Zwischenschritt

%%\dfrac{(2+x)\cdot (1-x)\cdot (2-3x)}{1-x}=\dfrac{3x\cdot (1-x)\cdot (2-3x)}{2-3x}%%

Jetzt kann gekürzt werden

%%(2+x)\cdot (2-3x)=3x\cdot (1-x)%%

%%(2+x)\cdot \color{blue}{(2-3x)}=3x\cdot \color{red}{(1-x)}%%

Ausmultiplizieren

%%4-6x+2x-3x^2=3x-3x^2%%

%%\begin{align} 4-6x+2x-3x^2&=3x-3x^2 \\ 4-4x&=3x \\ 4&=7x \\ x&=\dfrac47 \end{align}%%

%%|+3x^2 \\ |+4x \\ |:7%%

Da %%\dfrac47%% in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

%%\mathbb{L}=\left\{\dfrac47\right\}%%