Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungssysteme.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}&  x &=& y& +& 1\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&5y& -& 3x& =& 1\\ \mathrm{II}& x &=& y& +& 1\end{array}%%

Man setzt die Gleichung %%\mathrm{II}%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{I}'\quad5y-3\left(y+1\right)=1%%

Dann löst man nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcccc} 5y-3y-3&=&1&\\ 2y-3&=&1&|+3\\ 2y&=&4&|:2\\ y&=&2\end{array}%%

Nun setzt man %%y=2%% in %%\mathrm{II}%% ein und löst nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcccc} 5\cdot2-3x&=&1&|-10\\ -3x&=&-9&|:(-3)\\ x&=&3 \end{array}%%

Man kann nun die Lösungsmenge angeben:

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;2\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\ \mathrm{II}&y&=&5x&-&11 \end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&4x&+&5y&=&32\\ \mathrm{II}&y&=&5x&-&11 \end{array}%%

Man setzt die Gleichung %%\mathrm{II}%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{I}'\quad 4x+5\cdot \left(5x-11\right)=32%%

Dann löst man nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rccc} 4x+25x-55&=&32&\\ 29x-55&=&32&|+55\\ 29x&=&87&&|:29\\ x&=&3 \end{array}%%

Nun setzt man %%x=3%% in %%\mathrm{II}%% ein und löst nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcl} y&=&5\cdot3-11\\ y&=&4 \end{array}%%

Man kann nun die Lösungsmenge angeben:

%%L=\left\{\left(3\;\left|\;4\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\ \mathrm{II}&x&=&y&+&7\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&15y&-&4x&=&-50\\ \mathrm{II}&x&=&y&+&7 \end{array}%%

Man setzt die Gleichung %%\mathrm{II}%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{I}'\quad15y-4\left(y+7\right)=-50%%

Nun löst man nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 15y-4y-28&=&-50&\\ 11y-28&=&-50&|+28\\ 11y&=&-22&|:11\\ y&=&-2 \end{array}%%

Dann setzt man %%y=-2%% in %%\mathrm{II}%% ein und löst nach %%x%% auf.

%%x=-2+7%%

%%x=5%%

Jetzt kann man die Lösungsmenge angeben:

%%L=\left\{\left(5\;\left|\;-2\right.\right)\right\}%%

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2y&-&10&=&2x\end{array}%%

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

Lösung mit Einsetzungsverfahren

In diesem Fall ist das Einsetzungsverfahren sinnvoll, da die zweite Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2y&-&10&=&2x \end{array}%%

Teile %%\mathrm{II}%% durch 2, um nach der Variablen %%x%% aufzulösen.

%%\mathrm{II}:2\to\mathrm{II}'\quad y-5= x%%

Setze %%\mathrm{II}'%% in %%\mathrm{I}%% ein.

%%\mathrm{II}'%% in %%\mathrm{I}%% eingesetzt:

%%\mathrm{I}'\quad3\left(y-5\right)=y+15%%

Löse dann %%\mathrm{I}'%% nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 3y-15&=&y+15&|-y; +15\\ 2y&=&30&|:2\\ y&=&15 \end{array}%%

Setze anschließend %%y=15%% in %%\mathrm{II}'%% ein und löse nach %%x%% auf.

%%y=15%% in %%\mathrm{II}'%% eingesetzt:

%%\begin{array}{rcll} 15-5&=&x\\ 10&=&x \end{array}%%

Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}%%

 

Alternative Lösung: Gleichsetzungsverfahren

Eine weitere Möglichkeit ist, hier das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da auf der linken Seite von %%\mathrm{I}%% und auf der rechten Seite von %%\mathrm{II}%% fast der gleiche Term steht.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2y&-&10&=&2x \end{array}%%

Multipliziere %%\mathrm{II}%% mit %%\frac32%%, um auf der rechten Seite %%3x%% zu erzeugen.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}'&3y&-&15&=&3x \end{array}%%

Setze die rechte Seite von %%\mathrm{I}%% mit der linken von %%\mathrm{II}'%% gleich und löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 3x-15&=&x+5&|-x;\;+15\\ 2x&=&20&|:2\\ x&=&10 \end{array}%%

Setze %%x=10%% in %%\mathrm{I}%% (oder auch %%\mathrm{II}%%) ein und löse nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{rcll} 3\cdot 10&=&y+15&\\ 30&=&y+15&|-15\\ 15&=&y \end{array}%%

Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.

%%L=\left\{\left(10\;\left|\;15\right.\right)\right\}%%

Alternative Lösung: Kombination Additionsverfahren und Einsetzverfahren

Auch das Additionsverfahren kann hier sinnvoll eingesetzt werden. Dazu stellt man die Gleichungen zunächst so um, dass die passenden Terme untereinander stehen:

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}&3x&=&y&+&15\\ \mathrm{II}&2x&=&2y&-&10 \end{array}%%

Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.

%%\begin{array}{cccc} \mathrm{I}'&x&=&-y&+&25\\ \mathrm{II}&2x&=&2y&-&10 \end{array}%%

Da die erste Gleichung nun nach %%x%% aufgelöst ist, kann man wieder das Einsetzungsverfahren anwenden.

Setze dazu %%\mathrm{I}'%% in %%\mathrm{II}%% ein und löse nach %%y%% auf.

%%\begin{array}{crcll} \mathrm{II}'&2\cdot(-y+25)&=&2y-10&\\ &-2y+50&=&2y-10&|-2y \;\;|-50\\ &-4y&=&-60&|:(-4)\\ &y&=&15 \end{array}%%

Setze %%y=15%% in %%\mathrm{I}'%% ein und löse nach %%x%% auf.

%%x=-15+25%%

%%x=10%%

Gib zum Schluss noch die Lösungsmenge an.

%%L=\{(10|15)\}%%