Brennende Kerzen

Brennende Kerzen

Beide Kerze brennen langsam herunter. Da die rote Kerze deutlich dünner ist als die blaue, wird sie schneller kleiner. Am Anfang der Beobachtung ist die blaue Kerze %%6%% cm und die rote %%13%% cm hoch. Man hat bereits beobachtet, dass in einer Stunde die blaue um %%5%% mm und die rote %%9%% mm herunter brennt.

Stelle für beide Kerzen jeweils eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe %%h%% in Abhängigkeit der Zeit %%t%% darstellt. Es wird angenommen, dass die Kerzen gleichmäßig abbrennen.

Für die blaue Kerze gilt:
Man muss die Parameter der Gleichung %%h_{blau}(t) = m_{blau} \cdot t+c_{blau}%% finden.
In einer Stunde wird sie %%0,5%% cm kleiner. Damit beträgt die Steigung %%m_{blau} = -0,5%%. Der Y-Achsenabschnitt ist die anfängliche Höhe der Kerze: %%c_{blau}=6%%.
Man erhält: $$h_{blau}(t) = -0,5 \cdot t + 6$$

Für die rote Kerze geht man gleich vor:
%%h_{rot}(t) = m_{rot} \cdot t +c_{rot}%%
Pro Stunde verliert diese %%0,9%% cm. Die Steigung beträgt also %%m_{rot} = -0,9%%. Die rote Kerze beginnt jedoch bei %%c_{rot}=13%%.
Man erhält: $$h_{rot}(t)=-0,9\cdot t + 13$$

Berechne nun, nach wie vielen Stunden die Kerzen gleich lang sind, indem du die beiden Funktionen als Gleichungen mit den Variablen %%h%% und %%t%% auffasst.

Zuerst stellst du aus den Funktionen ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zusammen:

%% \begin{array}{lrll} \hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I} &h &= &-0,5t+6 \\ \mathrm{II} &h &= &-0,9t+13 \end{array} %%

Um nun die Zeit %%t%% zu finden an der beide Kerzen die gleiche Höhe haben, suchst du die Lösung des Gleichungssystems. Dazu bietet sich das Gleichsetzungsverfahren gut an.


Beide Gleichungen sind bereits nach %%h%% aufgelöst und können direkt gleichgesetzt werden.

1. Gleichsetzen

%%\Rightarrow -0,5t+6 = -0,9t+13%%

2. Nach t auflösen

%% \begin{array}{rll} -0,5t+6 &= &-0,9t+13 \\ 0,4t + 6 &= &13 \\ 0,4t &= &7 \\ t &= &17,5 \end{array} %%

%% | +0,9t \\ | -6 \\ | :0,4 %%


Antwort: Nach 17 Stunden und 30 Minuten haben die Kerzen die gleiche Höhe %%h%%.

Hinterfrage dein Ergebnis aus %%b)%% kritisch im Kontext der Aufgabe. An welcher Stelle gibt es ein Problem?

Höhe der Kerzen:

Nach Teilaufgabe b) haben die beiden Kerzen nach %%17,5%% Stunden die gleiche Höhe. Doch wie groß sind sie?
Wie bei allen Aufgaben zu Gleichungssystemen, sollte man am Schluss die vollständige Lösungsmenge angeben: Das heißt zu der Zeit %%t = 17,5%% muss noch die Höhe %%h%% berechnet werden.

3. Einsetzen in eine der Gleichungen

%% \begin{array}{lll} h &= &-0,5\cdot (\color{red}{17,5}) + 6 \\ &= &-8,75 +6 \\ &= &-2,75 \end{array} %%

Setze dein Ergebnis beispielsweise in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein und vereinfache.


Als Lösungsmenge ergibt sich also: $$\mathbb{L} = \{(17,5|-2,75)\}$$

In Worten: Nach %%17,5%% Stunden sind beide Kerzen %%-2,75%% cm groß.


Was bedeutet das %%\color{red}{-}2,75%% cm?

Mathematisch ergab sich für die beiden Geraden aus Teilaufgabe a) natürlich ein Schnittpunkt.

Doch im Sachzusammenhang betrachtet, macht diese Lösung keinen Sinn. Aus der Geradengleichung der roten Kerze %%h_{rot} = -0,5t+6%% kann man berechnen, dass diese bereits nach %%12%% Stunden abgebrannt ist. (siehe dazu Berechung von Nullstellen)


Alternativ kannst du dir auch die Graphen der Kerzen zeichnen, um deine Löusng zu interpretieren.

KerzenGraph


Antwort:

Obwohl sich rechnerisch eine Lösung ergibt, sind die beiden Kerzen niemals gleich groß: Sie sind vorher heruntergebrannt.