Das Gaußverfahren ist ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dabei wird das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewandt.
Die Koeffizientenmatrix wird so umgeformt, dass unter der Diagonalen nur noch Nullen stehen, sie ist dann in Zeilenstufenform:
(a11 a12a1nb10a22a23a2nb200a(n1)2a(n1)nbn100annbn)\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{11}&\ a_{12}&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&a_{(n-1)2}&a_{(n-1)n}&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&a_{nn}&b_n\end{array}\right)
Mit dieser Form lassen sich nun ganz einfach von unten nach oben die Einträge des Lösungsvektors berechnen.
Die Einträge des Lösungsvektors sind die einzelnen Lösungen der Variablen des Gleichungssystems. Sind zum Beispiel in einem Gleichungssystem die Unbekannten x,yx,y und zz, stehen im Lösungsvektor drei Einträge für die Werte dieser Unbekannten. Setzt man die Werte für die Unbekannten ein, werden alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt.

Beispiel

Im Folgenden wird dir die Vorgehensweise beim Gaußverfahren mithilfe eines Beispiels erklärt.
Nimm an, du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
I2x+3y+z=1II4xy+3z=11III3x+yz=0\displaystyle \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & 2x & + & 3y & + & z & = & 1 \\\mathrm{II} & 4x & - & y & + & 3z & = & 11 \\ \mathrm{III} & 3x & + & y & - & z & = & 0 \end{array}
Zunächst solltest du es zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix umschreiben:
(2311413113110)\displaystyle \left(\begin{array}{rrr|c}2 & 3 & 1 & 1 \\\orange{4} & -1 & 3& 11 \\ \orange{3} & 1 &-1 & 0 \end{array}\right)
Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren um die beiden Einträge, die jetzt orange markiert sind auf Null zu bringen.
Dazu ziehst du von der zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile ab (II2I)\left( \mathrm{II}-2\cdot\mathrm{I}\right). Anschließend ziehst du von der dritten Zeile die erste Zeile mit 32\dfrac32 multipliziert ab (III32I)\left( \mathrm{III} - \frac32 \cdot\mathrm{I}\right):
(2311413113110)II2I(231107193110)(231107193110)III32I(231107190725232)\displaystyle \begin{array}{c} \left(\begin{array}{rrr|c}2 & 3 & 1 & 1 \\\orange{4} & -1 & 3& 11 \\ \orange{3} & 1 &-1 & 0 \end{array}\right) &\underrightarrow{\mathrm{II}-2\cdot\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}2 & 3 & 1 & 1 \\0 & -7 & 1& 9 \\ 3 & 1 &-1 & 0 \end{array}\right) \\ \\ \left(\begin{array}{rrr|c}2 & 3 & 1 & 1 \\0 & -7 & 1& 9 \\ 3 & 1 &-1 & 0 \end{array}\right) &\underrightarrow{\mathrm{III}-\dfrac32\cdot\mathrm{I}}&\left(\begin{array}{rrr|c}2 & 3 & 1 & 1 \\\orange{0} & -7 & 1& 9 \\ \orange{0} & \green{-\frac72} &-\frac52 & \frac32 \end{array}\right) \end{array}
Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht Null ist, in der Matrix ist er grün markiert.
Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine Null steht ziehst du nun die Hälfte der zweiten Zeile von der dritten ab (III12II)\left( \mathrm{III} - \frac12 \cdot\mathrm{II}\right):
(231107190725232)III12II(231107190036)\displaystyle \left(\begin{array}{rrr|c}2 & 3 & 1 & 1 \\0 & -7 & 1& 9 \\ 0 & \green{-\frac72} &-\frac52 & \frac32 \end{array}\right) \underrightarrow{\mathrm{III}-\frac12\mathrm{II}}\left(\begin{array}{rrr|c}2 & 3 & 1 & 1 \\0 & -7 & 1& 9 \\ 0 & \green{0} &-3 & -6 \end{array}\right)
Damit ist deine Matrix jetzt in Zeilenstufenform, damit kannst du jetzt leicht die Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Wie das geht siehst du am Besten, wenn du die Matrix nun wieder in der ursprünglichen Darstellung betrachtest:
I2x+3y+z=1II7y+z=9III3z=6\displaystyle \begin{array}{lccccccc}\mathrm{I} & 2x & + & 3y & + & z & = & 1 \\\mathrm{II} & & - & 7y & + & z & = & 9 \\ \mathrm{III} & & & & - & 3z & = & -6 \end{array}
Indem du Gleichung III\mathrm{III} durch 3-3 teilst erhältst du für zz die Lösung z=2\mathbf{z = 2}. Diesen Wert kannst du nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen:
I2x+3y+2=1II7y+2=9\displaystyle \begin{array}{lccccccc}\mathrm{I} & 2x & + & 3y & + & 2 & = & 1 \\\mathrm{II} & & - & 7y & + & 2 & = & 9 \end{array}
Hier kannst du jetzt Gleichung II\mathrm{II} lösen, indem du erst 22 subtrahierst: 7y=7-7y = 7 und dann durch 7-7 teilst: y=1\mathbf{y = -1}. Auch diesen Wert kannst du jetzt in Gleichung I\mathrm{I} einsetzen:
I2x3+2=1\displaystyle \begin{array}{lccccccc}\mathrm{I} & 2x & - & 3 & + & 2 & = & 1 \\\end{array}
Wenn du diese Gleichung nach xx auflöst erhältst du x=1x = 1.
Die Lösung des Gleichungssystems ist also insgesamt:
x=1y=1z=2\displaystyle x = 1 \qquad y=-1 \qquad z = 2

Gauß-Jordan-Verfahren

Das Gauß-Jordan-Verfahren ist eine Abwandlung des Gaußverfahrens. Dabei wird ebenfalls das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewendet. Allerdings wird die Koeffizientenmatrix hier so umgeformt, dass auf der Diagonalen überall der Wert 11 steht und die restlichen Einträge der Matrix Nullen sind. Das sieht dann so aus:
(100b10100b20010bn1001bn)\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&\dots&\dots&0&b_1\\0&1&0&\dots&0&b_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\0&\dots&0&1&0&b_{n-1}\\0&\dots&\dots&0&1&b_n\end{array}\right)
Beim Gauß-Jordan-Verfahren musst du im Vergleich zum Gaußverfahren öfter das Additionsverfahren verwenden, allerdings hat es den Vorteil, dass du den Lösungsvektor sofort in der rechten Spalte ablesen kannst:
b=(b1bn)\displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\b_n\end{pmatrix}

Beispiel

Hier kannst du anhand eines Beispiels verstehen, wie das Gauß-Jordan-Verfahren funktioniert:
Gleichungssystem
Erweiterte Koeffizientenmatrix
Rechenschritt
$$\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&2x&-&4y&=&0\\\mathrm{II}&\frac12x&+&y&=&\frac34\end{array}$$
$$\left(\begin{array}{cc|c}2&-4&0\\\frac12&1&\frac34\end{array}\right)$$
erste Zeile geteilt durch 22 und 22\cdot zweite Zeile
$$\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\\mathrm{II}&x&+&2y&=&\frac32\end{array}$$
$$\left(\begin{array}{cc|c}1&-2&0\\1&2&\frac32\end{array}\right)$$
zweite Zeile - erste Zeile
$$\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\\mathrm{II}&&&4y&=&\frac32\end{array}$$
$$\left(\begin{array}{cc|c}1&-2&0\\0&4&\frac32\end{array}\right)$$
zweite Zeile geteilt durch 44
$$\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\\mathrm{II}&&&y&=&\frac38\end{array}$$
$$\left(\begin{array}{cc|c}1&-2&0\\0&1&\frac38\end{array}\right)$$
erste Zeile + 22\cdot zweite Zeile
$$\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{I}&x&&&=&\frac34\\\mathrm{II}&&&y&=&\frac38\end{array}$$
$$\left(\begin{array}{cc|c}1&0&\frac34\\0&1&\frac38\end{array}\right)$$
Jetzt kann man die Lösungen ablesen:
x=34,  y=38x=\frac34,\; y=\frac38 bzw. b=(3438)\vec{b}=\begin{pmatrix}\frac34\\ \frac38\end{pmatrix}

Gauß-Jordan-Verfahren Schritt für Schritt

Wie auch beim Additionsverfahren kann man beim Gaußverfahren auf verschiedenen Wegen zum Ziel gelangen. Mit der Zeit entwickelt man einen Blick für geschickte Rechenschritte. Im Folgenden wird ein Vorgehen beschrieben, das zwar oft nicht das geschickteste ist, jedoch immer funktioniert.
Es wir anhand einer sogenannten 4×44\times4-Matrix, also eine Matrix die vier Zeilen und vier Spalten (und die Spalte für die konstanten Werte) hat, vorgeführt. Es funktioniert jedoch auch für größere oder kleinere Matrizen.
Gleichungssystem
Im folgenden Gleichungssystem sind w,x,y,z\mathbf{w,x,y,z} Variablen und wi,xi,yi,zi\mathbf{w_i, x_i, y_i, z_i} (wobei ii für die Zahlen von 11 bis 44 steht) die dazu gehörenden Koeffizienten aus R\mathbb{R}. Die bib_i sind ebenfalls aus R\mathbb{R} und bezeichnen die konstanten Terme.
Iw1w+x1x+y1y+z1z=b1IIw2w+x2x+y2y+z2z=b2IIIw3w+x3x+y3y+z3z=b3IVw4w+x4x+y4y+z4z=b4\begin{array}{cccccc}\mathrm{I}&w_1\cdot w&+&x_1\cdot x&+&y_1\cdot y&+&z_1\cdot z&=&b_1\\\mathrm{II}&w_2\cdot w&+&x_2\cdot x&+&y_2\cdot y&+&z_2\cdot z&=&b_2\\\mathrm{III}&w_3\cdot w&+&x_3\cdot x&+&y_3\cdot y&+&z_3\cdot z&=&b_3\\\mathrm{IV}&w_4\cdot w&+&x_4\cdot x&+&y_4\cdot y&+&z_4\cdot z&=&b_4\end{array}
Zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix
(w1x1y1z1b1w2x2y2z2b2w3x3y3z3b3w4x4y4z4b4)\displaystyle \left(\begin{array}{cccc|c}w_1&x_1&y_1&z_1&b_1\\w_2&x_2&y_2&z_2&b_2\\w_3&x_3&y_3&z_3&b_3\\w_4&x_4&y_4&z_4&b_4\\\end{array}\right)

1. Schritt

Man erzeugt in der ersten Spalte lauter Einsen, indem man jede Zeile durch ihren ersten Eintrag (blau markiert) teilt.

2. Schritt

Man subtrahiert von der zweiten (dritten,…. letzten) Zeile die erste Zeile.
Jetzt "passt" schon die erste Spalte.
Bemerke: Damit die Grafiken übersichtlich bleiben, werden lange Terme durch neue Bezeichnungen ersetzt! Hier:
x1w1:=x1~,y2w2:=y2~,\frac{x_1}{w_1}:=\tilde{x_1}, \frac{y_2}{w_2}:=\tilde{y_2}, usw.
Die beiden ersten Schritte wiederholt man nun für die oben markierte kleinere Matrix und danach weiter bis auf der Diagonalen lauter Einsen und darunter Nullen stehen:

3. Schritt

Nun müssen noch alle Zahlen oberhalb der Einsen zu Nullen werden. Dazu arbeitet man sich von unten nach oben durch. Als Erstes wird z3z'_3 eliminiert, indem man von der dritten Zeile das z3z'_3-fache der vierten Zeile subtrahiert.
An der Stelle berechnet sich dann nämlich z3z31=0z'_3-z'_3\cdot1=0.
Auf dem selben Weg werden die Nullen an den Stellen von z2z'_2 und z~1\tilde{z}_1 erzeugt.
Man verfährt weiter so, um die übrigen Einträge zu eliminieren:
Nun kann man ganz rechts den Lösungsvektor ablesen.
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Kommentieren Kommentare

Zu article Gaußverfahren: Farbliche Markierung
Lisa_K 2015-11-03 15:45:56+0100
Vielleicht markiert ihr die Werte, mit den gerade gearbeit wird in Farbe, damit man dem Artikel leichter folgen kann!
Nessa 2015-11-09 12:56:43+0100
Hallo Lisa_K,

schön, dass wir mit deiner Hilfe unseren Artikel überarbeiten konnten!
Ich würde mich sehr über ein Feedback zur Umsetzung deiner Verbesserungsvorschläge freuen.

Liebe Grüße,
Nessa
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Zu article Gaußverfahren:
wendrock 2020-03-09 11:52:18+0100
Meiner Meinung nach ist hier vorgestellte Verfahren das Gauß-Jordan-Verfahren und nicht das Gauß-Verfahren.
Auf der Übungsseite
https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungssysteme/aufgaben-gau%C3%9Fverfahren und
die hier als zugehörig verlinkt wird, wird dann (fast) nur das Gauß-Verfahren angewendet. Das könnte zu Verwirrung führen.
Gauß-Verfahren = unter der Diagonalen werden Nullen erzeugt
Gauß-Jordan-Verfahren = unter und über der Diagonalen werden Nullen erzeugt

Außerdem muss beim Gauß-Verfahren nicht in der Diagonalen immer eine 1 stehen. Es reicht, wenn durch Vielfachaddition von Zeilen unter der Diagonalen Nullen entstehen. So wird das auch in der Übung durchgeführt.

Grüße
Wendrock
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Zu article Gaußverfahren: Ziel des Gaußverfahrens
Lisa_K 2015-11-03 15:40:19+0100
Gleich am Anfang neben die vier Gleichungen auch die Matrix setzen, damit man einen Bezug hat, wie es am Ende auszusehen hat.
Vielleicht ganz am Anfang bei "Schritt für Schritt" einmal erläutern, warum wir die Matrix nehmen. Wo kommen die Daten für die Matrix her? Nochmal drauf eingehen, dass man bei vier Unbekannten auch mindestens vier vollständige Funktionen braucht, aus der man die Matrix überhaupt ableiten kann. Oft springt man ja in den Artikel rein und muss deswegen nochmal eingeleitet werden.
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Zu article Gaußverfahren: Ziel des Gaußverfahrens
Lisa_K 2015-11-03 15:40:16+0100
Gleich am Anfang neben die vier Gleichungen auch die Matrix setzen, damit man einen Bezug hat, wie es am Ende auszusehen hat.
Vielleicht ganz am Anfang bei "Schritt für Schritt" einmal erläutern, warum wir die Matrix nehmen. Wo kommen die Daten für die Matrix her? Nochmal drauf eingehen, dass man bei vier Unbekannten auch mindestens vier vollständige Funktionen braucht, aus der man die Matrix überhaupt ableiten kann. Oft springt man ja in den Artikel rein und muss deswegen nochmal eingeleitet werden.
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