Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode, mit der man lineare Gleichungssysteme lösen kann.

Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich an, wenn in einem Gleichungssystem in (wenigstens) zwei verschiedenen Gleichungen der gleiche Term auftaucht.

Zum Beispiel taucht im folgendem Gleichungssystem die Variable %%x%% in beiden Gleichungen jeweils 3 mal auf:

%%\begin{array}{rrcrcr} \mathrm{I}&\color{#CC0000}{3x}&+&2y&=&8\\ \mathrm{II}&\color{#CC0000}{3x}&-&y&=&9\end{array} \\%%

Man kann dann nach %%x%% auflösen und die jeweils andere Seite gleichsetzen. So eliminiert man eine Variable (hier: %%x%%) und kann die andere Variable (hier: %%y%%) durch Einsetzen in einer der Gleichungen bestimmen.

Beispiel

Das Vorgehen soll nun am folgenden Gleichungssystem mit %%2%% Gleichungen und %%2%% Variablen demonstriert werden:

%%\begin{array}{rrcrcr} \mathrm{I}&a&+&\dfrac12b&=&5\\ \mathrm{II}&2a&-&b&=&6\end{array} \\%%

Anmerkung:

In der Schule werden die Variablen bei Gleichungen bzw. Gleichungssystemen oft mit %%x%%,%%y%%,%%z%%, usw. bezeichnet.
Man kann aber die Variablen natürlich auch mit den anderen Buchstaben des Alphabets (hier: %%a%%, %%b%%) bezeichnen.

1. Beide Gleichungen nach einer Variablen auflösen

Zuerst löst man beide Seiten nach einer Variablen auf. In diesem Fall zum Beispiel nach %%a%%.

%%\mathrm{I} \quad a + \dfrac12 b = 5%%

%%| - \dfrac12 b%%

%%\mathrm{I'}\quad \color{green}{a} = 5 - \dfrac12 b%%

%%\mathrm{II} \quad 2a - b = 6%%

%%|+ b%%

%%\quad 2a = 6 + b%%

%%|:2%%

%%\mathrm{II'} \quad \color{green}{a} = 3 + \dfrac12 b%%

Da jetzt bei %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% die linken Seiten beide gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein, also %%5 - \dfrac12 b = 3 + \dfrac12 b%%.

Diesen Schritt nennt man "Gleichsetzen".

2. %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleichsetzen

%%5 - \dfrac12 b = 3 + \dfrac12 b%%

3. Gleichung auflösen

Diese neue Gleichung hat nur noch eine Variable und kann deswegen wie gewohnt gelöst werden.

%%5 - \dfrac12 b = 3 + \dfrac12 b%%

%%| + \dfrac12 b%%

%%5 = 3 + b%%

%%| -3%%

%%2 = b%%

Diese Lösung kann man nun in eine der oberen Gleichungen einsetzen um den Wert der zweiten Variable zu berechnen.

4. Einsetzen in Gleichung %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%%

Welche Gleichung man dabei benutzt, ist egal! Um das Ergebnis zu prüfen, kann man es auch in beide Gleichungen einsetzen und überprüfen, ob der selbe Wert herauskommt.

%%\underline{b \;\text{in} \; \mathrm{II'} \;\text{einsetzen:}}%%

%%a = 3 + \dfrac12 \cdot 2 = 3 + 1 = 4%%

Damit ergibt sich die Lösungsmenge

%%L=\left\{\left(4;2\right)\right\}%%

5. Probe (kann auch weggelassen werden)

Um die Lösung zu überprüfen setzt man sie in die ursprüngliche Gleichung ein und überprüft, ob diese erfüllt sind.

%%\begin{array}{rrcrcr} \mathrm{I}&4&+&\dfrac12 \cdot 2&=&5 &\color{green}{\checkmark} \\ \mathrm{II}&2\cdot 4&-&2&=&6 &\color{green}{\checkmark}\end{array} \\%%

Übungsaufgaben

Löse die Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Weitere Übungsaufgaben mit zwei Unbekannten

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Mahdi 2016-12-13 14:43:54
Es war sehr kompliziert, ich habe es nicht verstanden. Der Einführungstext war zu kompliziert geschrieben.
Nish 2016-12-13 22:20:43
Vielen Dank für dein Feedback, Mahdi! Das hilft, uns weiter zu verbessern!
Ich habe mal den Einführungstext umgeschrieben und ergänzt.
Außerdem habe ich auch das Beispiel bisschen umgeschrieben und das Layout neu gestaltet.
Hilft dir das? Verstehst du es besser?

@alle: Was haltet Ihr von den Neuerungen?, v.a. habe ich im Beispiel die Erklärungen rechts in eine neue Zeile drunter gepackt.

LG,
Nish
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Zu article Gleichsetzungsverfahren: 2 Unbekannte
Knorrke 2016-07-29 09:56:58
Vielleicht könnte man das Beispiel ersetzen durch eines mit 2 Variablen und 2 Unbekannten? Zumal hier irgendwie in der Mitte dann doch zu einem Einsetzverfahren übergegangen wird. Konsequent alles mit Gleichsetzen zu lösen scheint mir auch recht ineffizient zu sein, hab ich auch noch nie gesehn...
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Zu article Gleichsetzungsverfahren: Farben
franzi13013 2016-07-19 14:51:10
Könnte man eventuell noch farbig markieren, was man wo einsetzen muss?
Es reichen ja unterschiedliche Schriftfarben.
Dann wäre das Beispiel leichter nachzuvollziehen.
Nish 2016-07-20 12:55:51
Ich hab versucht, deinen Vorschlag umzusetzen und noch ein paar Sachen ergänzt. Passt es so?
franzi13013 2016-07-21 16:41:32
Passt. Jetzt findet man die Variabeln und Terme viel schneller.
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