Es ist mit Hilfe der Matrixdarstellung möglich, zu bestimmen, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem hat, ohne es vorher zu lösen.

Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl an Lösungen eines Gleichungssystems:

  1. Keine Lösung
  2. Genau eine Lösung
  3. Unendlich viele Lösungen.

Dies kann man sich an einem Beispiel leicht verdeutlichen, indem man das Gleichungssystem graphisch darstellt:

Beispiel

Die Graphen der einzelnen linearen Gleichungen, also die Geraden, schneiden sich entweder

  • in einem gemeinsamen Punkt %%\to%% eine Lösung,
  • liegen aufeinander (sind also gleich) %%\to%% unendlich viele Lösungen, oder
  • sind echt parallel zueinander, haben also keinen gemeinsamen Punkt %%\to%% keine Lösung

$$\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}& x&-y&=3\\ \mathrm{II}&9x&+3y&=15 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc} \Rightarrow\mathrm{I}& y&=&x&-3\\ \Rightarrow\mathrm{II}&y&=&-3x&+5 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}& x&-\frac12y&=\frac32\\ \mathrm{II}&-9x&+\frac92y&=-\frac{27}2 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc} \Rightarrow\mathrm{I}& y&=&2x&-3\\ \Rightarrow\mathrm{II}&y&=&2x&-3 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}& -x&-y&=4\\ \mathrm{II}&3x&+3y&=6 \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc} \Rightarrow\mathrm{I}& y&=&-x&-4\\ \Rightarrow\mathrm{II}&y&=&-x&+2 \end{array}$$

Lösbarkeit mit der Matrixdarstellung bestimmen

Im Folgenden betrachten wir quadratische lineare Gleichungssysteme, das heißt lineare Gleichungssysteme mit genau so vielen Gleichungen wie Variablen.

Vorgehensweise

Die Vorgehensweise wird hier an einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen beschrieben. Sie ist jedoch auch für Gleichungssysteme mit mehr oder weniger Gleichungen gültig.

1. Darstellung als erweiterte Koeffizientenmatrix

$$\begin{array}{ccccc} \mathrm{I}&x_1\cdot x&+y_1\cdot y&+z_1\cdot z&=b_1\\ \mathrm{II}&x_2\cdot x&+y_2\cdot y&+z_2\cdot z&=b_2\\ \mathrm{III}&x_3\cdot x&+y_3\cdot y&+z_3\cdot z&=b_3 \end{array} \quad\to\quad \left(\begin{array}{ccc|c} x_1&y_1&z_1&b_1\\ x_2&y_2&z_2&b_2\\ x_3&y_3&z_3&b_3 \end{array}\right)=(A|b)$$

2. Auf Zeilenstufenform bringen

Die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringen heißt, dass die Koeffizienten %%x_2, x_3, y_3%% eliminiert werden, zum Beispiel mit Hilfe des Gaußverfahrens.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} x_1&y_1&z_1&b_1\\ 0&\tilde{y}_2&\tilde{z}_2&\tilde{b}_2\\ 0&0&\tilde{z}_3&\tilde{b}_3 \end{array}\right)=(\tilde{A}|\tilde{b})$$

Warum sind da Schlangen über den Koeffizienten?

Wegen der Umformung stehen in der Matrix nicht mehr dieselben Werte wie vorher. Um zu kennzeichnen, dass sich die Werte in der zweiten und dritten Zeile verändern, wenn man die Matrix umformt, wurden kleine Schlangen benutzt.

3. Rang bestimmen

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen in der Zeilenstufenform der Matrix, die wenigstens einen Eintrag ungleich Null haben.
Man schreibt %%rg(A)%% für den Rang der Matrix %%A%%.

Beispiele für den Rang einer Matrix

$$A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&0&0\\ 3&4&5 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 2&4&6\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix} 4&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$

%%rg(A)=3\quad%% Denn wenn man die Zeilenstufenform der Matrix %%A%% bildet, steht dort in jeder Zeile wenigstens ein Eintrag ungleich Null.

Man sagt auch: "%%A%% hat vollen Rang."

%%rg(B)=2\quad%% Denn wenn man die Zeilenstufenform der Matrix %%B%% bildet, sind dort in einer Zeile alle Einträge Null.

%%rg(C)=1\quad%% In %%C%% sind scheinbar zwei Zeilen ungleich Null, aber %%C%% ist nicht in Zeilenstufenform; man kann %%C%% so umformen:

$$C=\begin{pmatrix} 4&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\underset{4\cdot\text{zweite Zeile}-\text{erste Zeile}}{\to}\begin{pmatrix} 4&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$

Bestimme den Rang der Matrix %%\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc} x_1&y_1&z_1\\ 0&\tilde{y}_2&\tilde{z}_2\\ 0&0&\tilde{z}_3 \end{array}\right)%% und den Rang der erweiterten Matrix %%(\tilde{A}|\tilde{b})%%.

4. Ränge vergleichen

%%n%% bezeichnet nun die Anzahl der Variablen bzw. die Anzahl der Spalten der Matrix. Es gibt nun drei Möglichkeiten:

Kriterium

Beispiel

Lösbarkeit

1. %%rg(\tilde{A})=rg(\tilde{A}|\tilde{b})=n%%

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&3&5&0\\ 0&2&1&1\\ 0&0&7&4 \end{array}\right)$$

%%rg(\tilde{A})=3= rg(\tilde{A}|\tilde{b}), n=3%%

Es gibt genau eine Lösung.

2. %%rg(\tilde{A})=rg(\tilde{A}|\tilde{b})<n%%

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&3&5&0\\ 0&2&1&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\right)$$

%%rg(\tilde{A})=2= rg(\tilde{A}|\tilde{b}), n=3%%

Es gibt unendlich viele Lösungen.

3. %%rg(\tilde{A})<rg(\tilde{A}|\tilde{b})%%

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&3&5&0\\ 0&2&1&1\\ 0&0&0&4 \end{array}\right)$$

%%rg(\tilde{A})=2<3= rg(\tilde{A}|\tilde{b})%%

Es gibt keine Lösung.

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Zu article Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen: Definition von Rang
SebSoGa 2016-07-18 18:01:06
Die Definition des Rangs einer Matrix ist falsch.
Laut der aktuellen Definition hätte die Matrix A weiterhin Rang drei, wenn die letzte Zeile wieder gleich 1 2 3 wäre (was allerdings falsch ist).

Ich wollte diese Definition zuerst ergänzen, indem man sagt, dass die Matrix dafür in Zeilenstufenform sein muss, aber dann passen die Beispiele nicht dazu.

Alternativvorschläge?

Liebe Grüße
Sebastian
Renate 2016-07-20 11:03:32
Hallo SebSoGa, vielen Dank für die Meldung des Fehlers und den Verbesserungsvorschlag!
Ich habe jetzt den Text in "3. Rang bestimmen" geändert - ist es so korrekt?

Was die Beispiele betrifft, habe ich auch hier den Text dazu als "erste Maßnahme" etwas verändert, sodass er, glaube ich, jetzt wenigstens inhaltlich vertretbar ist. Unbefriedigend ist dabei allerdings vielleicht noch, dass in den Beispielen nun Rechnungen (nämlich die Umformung zur Zeilenstufenform) nicht ausgeführt, sondern nur als Ergebnis "mitgeteilt" werden.

Vorschläge:

(a) Man wählt ANDERE Beispiele und beschränkt sich dabei auf solche, die in Zeilenstufenform sind. Denn im KONTEXT DIESES ARTIKELS geht es ja an dieser Stelle nur um Matrizen, die in 2. bereits auf Zeilenstufenform gebracht sind. (Allgemeineres kann in einem Artikel über den Rang von Matrizen und seine Bestimmung seinen Platz finden. )

(b) Man fügt den Beispielen die Umformung auf Zeilenstufenform hinzu - macht den Spoiler aber dann recht lang, daher Vorschlag (c):

(c) Man fügt die hier verwendeten Matrizen als BEISPIELE BEI 2. ein, und dort natürlich als Beispiele für das Umformen in Zeilenstufenform, rechnet sie (in 2.) ausführlich vor, und kann dann in 3. darauf Bezug nehmen.

Gruß
Renate
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