Aufgaben

Das Lösen eines LGS nach dieser Methode benötigt bei %%n%% Unbekannten etwa %%n^3/3%% Operationen (Additionen und Multiplikationen). Angenommen, unser Rechner schafft %%100%% Millionen Operationen pro Sekunde - wie lange braucht er dann für ein LGS mit %%10%%, mit %%1000%%, mit %%100\ 000%% Unbekannten?

Also: Unser Verfahren benötigt $$\frac{n^3}{3}op$$ für %%n%% Unbekannte und wir haben einen Rechner, der $$100 000 000\frac{op}{s}$$ schafft. Also kann die Dauer angegeben werden als: $$d(n)=\frac{\frac{n^3}{3}op}{100 000 000\frac{op}{s}}=\frac{n^3}{300 000 000}s$$ Nun setzen wir die angegebenen %%n%% ein: $$d(10)=\frac{10^3}{300 000 000}s=\frac{1}{300 000}s\approx 3,3\mu s$$ $$d(1000)=\frac{1000^3}{300 000 000}s=\frac{10}{3}s\approx 3,3s$$ $$d(100000)=\frac{100000^3}{300 000 000}s\approx 39d$$ Während für ein Gleichungssystem mit %%10%% Unbekannten im Bruchteil einer Sekunde gelöst werden kann, dauert es für %%100000%% Variablen länger als einen Monat.

Für welche Werte von %%a%% ist folgendes LGS lösbar? Was sind dann die Lösungen?

%%\begin{array}{cccccccc}&x_1&+&2x_2+&x_3&=&2\\\ &x_1&+&4x_2+&3x_3&=&4\\\ &-2x_1&-&3x_2-&x_3&=&a\end{array}%%

Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.

%% \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ -2 & -3 & -1 \\ \end{array} \left| \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ a \end{array} \right. \right) %%

%% \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \left| \begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ a + 4 \end{array} \right. \right) %%

%% \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \left| \begin{array}{r} 2 \\ a + 4 \\ 2 - 2(a + 4) \end{array} \right. \right) %%

Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt %%0 = 2 - 2(a + 4)%% bzw. %%a = -3%%. Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können %%x_3%% beliebig wählen, z. B. %%x_3 = z%%. Fügen als noch eine neue Zeile ein und setzen %%a = -3%%.

%% \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \left| \begin{array}{r} 2 \\ -3 + 4 \\ z \end{array} \right. \right) %%

%% \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \left| \begin{array}{r} z \\ 1 - z \\ z \end{array} \right. \right) %%

Das heißt, es gilt %%a = -3%% sowie %%x_1 = z%%, %%x_2 = 1 - z%% und %%x_3 = z%% mit %%z \in \mathbb{R}%%.

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

%%\begin{array}{cccccccc}&-x_1&+&2x_2&=&2\\\ \ &2x_1&-&x_2&=&2\end{array}%%

  1. Löse das System zunächst graphisch.

  2. Eliminiere nun mittels der ersten Gleichung das %%x_1%% in der zweiten Gleichung.

  3. Löse das so geänderte System noch einmal graphisch.

  4. Berechne schließlich aus dem geänderten System die Lösung.

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