Aufgaben
Für welche Werte von aa ist folgendes LGS lösbar? Was sind dann die Lösungen?
%%\begin{array}{cccccccc}&x_1&+&2x_2+&x_3&=&2\\\ &x_1&+&4x_2+&3x_3&=&4\\\ &-2x_1&-&3x_2-&x_3&=&a\end{array}%%
Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.
%%\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\1 & 4 & 3 \\-2 & -3 & -1 \\\end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ 4 \\ a\end{array}\right.\right)%%
%%\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & 2 \\0 & 1 & 1 \\\end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ 2 \\ a + 4\end{array}\right.\right)%%
%%\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 \\\end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ a + 4 \\ 2 - 2(a + 4)\end{array}\right.\right)%%
Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt 0=22(a+4)0 = 2 - 2(a + 4) bzw. a=3a = -3. Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können x3x_3 beliebig wählen, z. B. x3=zx_3 = z. Fügen als noch eine neue Zeile ein und setzen a=3a = -3.
%%\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \\\end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ -3 + 4 \\ z\end{array}\right.\right)%%
%%\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{array}\left|\begin{array}{r}z \\ 1 - z \\ z\end{array}\right.\right)%%
Das heißt, es gilt a=3a = -3 sowie x1=zx_1 = z, x2=1zx_2 = 1 - z und x3=zx_3 = z mit zRz \in \mathbb{R}.
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
%%\begin{array}{cccccccc}&-x_1&+&2x_2&=&2\\\ \ &2x_1&-&x_2&=&2\end{array}%%
  1. Löse das System zunächst graphisch.
  2. Eliminiere nun mittels der ersten Gleichung das x1x_1 in der zweiten Gleichung.
  3. Löse das so geänderte System noch einmal graphisch.
  4. Berechne schließlich aus dem geänderten System die Lösung.
Kommentieren Kommentare