Vereinfache den Term %%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%% und gib an, für welche Werte von %%x%% sich der Termwert %%0%% ergibt.

%%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%%

%%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%%

Beim ersten Summand steht %%x%% alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für %%x%% einsetzen.

Beim zweiten Summanden steht %%x^2%% unter der Wurzel.
Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das %%x%% in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen %%x%% nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche %%x%% negativ oder positiv war.

Also kann man alle reellen Zahlen für %%x%% einsetzen.

%%D=\mathbb{R}%%

%%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%%

Die Zahlen als Quadratzahlen schreiben.

%%=\sqrt{13^2}\cdot x+\sqrt{13^2\cdot x^2}%%

Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.

%%=13\cdot x+13\cdot \left|x\right|%%

Warum müssen die Betragsstriche hier stehen?

Beim ersten Summand muss man nur die Zahl radizieren.
Beim zweiten Summand muss man auch %%x^2%% radizieren. Da die Definitionsmenge ganz %%\mathbb{R}%% ist, kann man auch negative Zahlen einsetzen. Deshalb wäre die Lösung %%x%% falsch, weil man auch negative %%x%% einsetzen darf. Die Quadratwurzel eines Terms darf aber nicht negativ sein (sondern 0 oder positiv). Deshalb verwendet man die Betragsstriche.

1. Fall: Positive %%x%%, also %%x\geq0%%

%%13\cdot x+13\cdot \left|x\right|%%

Wenn man nur positive %%x%%-Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.

%%=13\cdot x+13\cdot x%%

Zusammenfassen.

%%=26x%%

Dies wird nur 0, falls %%x=0%%

2. Fall: Negative %%x%%, also %%x\leq0%%

%%13\cdot x+13\cdot \left|x\right|%%

Wenn man nur negative %%x%%-Werte einsetzt, kann man %%-x%% anstatt %%\left|x\right|%% schreiben

%%=13\cdot x+13\cdot (-x)%%

Zusammenfassen.

%%=13\cdot x-13\cdot x=0%%

Für negative %%x%%-Werte wird der Ausdruck also immer 0.


Der Term %%\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}%% wird für alle %%x\leq 0%%, also für 0 und allen negativen Zahlen, 0.