Aufgaben zu Termen mit Quadratwurzeln

Hier findest du gemischte Aufgaben zu Termen mit Quadratwurzeln. Lerne, Quadratwurzeln zu vereinfachen und den Wert von Wurzeltermen zu bestimmen!

Gib an für welche Zahlen der Term definiert ist und schreibe ohne Wurzelzeichen.

$5 \cdot \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{18 x}$

$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Die erste Wurzel im Zähler ist immer positiv, da die Variable $a$ quadratisch vorkommt. Aber in der zweiten Wurzel des Zählers darf man nur positive Werte oder 0 einsetzen. Genauso verhält es sich bei der Wurzel im Nenner, hier muss aber a größer Null sein.
$D = ℝ_{}^{+}$ , also $a > 0$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Mit den Rechenregeln für Wurzeln die Wurzeln zusammenfassen.
$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$ $=$ $\sqrt{\frac{2 a^{2} \cdot 12 a}{8 a}}$
↓
Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
$=$ $\sqrt{3 a^{2}}$
↓
Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
$=$ $\sqrt{3} \cdot | a |$
↓
Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
$=$ $\sqrt{3} \cdot a$
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${(\sqrt{d - 2})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
${(\sqrt{d - 2})}^{2}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Setze daher den Radikand größer gleich 0.
$d - 2 \geq 0$
$d \geq 2$
$D = [2; \infty [$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
Die Wurzel quadrieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
${(\sqrt{d - 2})}^{2}$ $=$ $| d - 2 |$
$=$ $d - 2$
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$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme den Definitionsbereich.
$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$
Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen. Da der Term der unter der Wurzel steht noch quadriert wird, wird dieser immer positiv sein, egal welche Werte man für $d$ einsetzt.
$D = ℝ$
Term ohne Wurzelzeichen schreiben
$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$ $=$ $| d - 2 |$
↓
Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.
$=$ $| d - 2 |$
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2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Gib den Definitionsbereich an.
1. $\sqrt{x - 36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen nur positive Ausdrücke stehen, deshalb darf $x - 36$ nicht negativ sein. $x - 36$ ist negativ, wenn $x$ kleiner ist als $36$ .Deswegen muss $x$ entweder größer als $36$ sein oder $36$ gleichen, damit in der Wurzel kein negativer Wert steht. $x$ gehört außerdem zu den Reellen Zahlen. Nun kannst du den Definitionsbereich bestimmen.
  $x \in ℝ, x ⩾ 36$
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2. $\sqrt{36 + x^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel dürfen keine negativen Ausdrücke stehen, deswegen darf hier $36 + x^{2}$ nicht negativ sein. Eine quadrierte Zahl ist nie negativ, da das Produkt aus zwei negativen oder zwei positiven Zahlen keine negative Zahl sein kann. $x$ kann also jede beliebige Zahl aus der reellen Zahlenmenge sein, ohne dass $x^{2} + 36$ kleiner als null wird.
  $D = ℝ$
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3. $\frac{1}{\sqrt{x + 36}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen. Außerdem darf der Nenner eines Bruches nicht null gleichen. Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, muss $x + 36$ größer als null sein. Dazu muss $x$ größer $- 36$ sein. Außerdem gehört $x$ zur reellen Zahlenmenge. Nun kannst du von $\frac{1}{\sqrt{x + 36}}$ den Definitionsbereich bestimmen.
  $x \in R, x > - 36$
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4. $\sqrt{x^{2} - 36}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Definitionsbereich bestimmen
  Unter der Wurzel darf kein negativer Ausdruck stehen, deshalb darf $x^{2} - 36$ nicht kleiner sein als null. Um diese Angaben einzuhalten, muss $x^{2}$ also größer gleich $36$ sein. $x^{2}$ ist nicht größer gleich $36$ , wenn $x$ irgendeine Zahl im Bereich zwischen -6 und 6, ausgeschlossen -6 und ausgeschlossen 6, ist. Allgemein gehört $x$ zu den reellen Zahlen. Damit kannst du nun den Definitionsbereich von $\sqrt{x^{2} - 36}$ angeben.
  $D = ℝ \] - 6; 6 [$
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3
Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an und schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen.
1. $\sqrt{49 a^{4} b^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{49 a^{4} b^{2}}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Da die Exponenten von $a$ und $b$ gerade sind, gibt es keine Definitionslücke, da $x^{2 n}$ immer positiv ist.
  $D_{\max} = ℝ$
  Wurzel ziehen.
  $\sqrt{49 a^{4} b^{2}} = 7 \cdot a^{2} \cdot | b |$
  Betragsstriche, da $b$ negativ sein könnte.
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2. $\sqrt{{(- b)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(- b)}^{2}}$
  Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
  Der Exponent von $b$ ist gerade, daher gibt es keine Definitionslücke, da ${(- x)}^{n_{gerade}}$ immer positiv ist.
  $D_{\max} = ℝ$
  $- b$ quadrieren.
  $\sqrt{{(- b)}^{2}}$ $=$ $\sqrt{b^{2}}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
  $=$ $| b |$
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3. ${\sqrt{- b}}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${\sqrt{- b}}^{2}$
  Die Zahl unter der Wurzel darf nicht negativ sein. $\Rightarrow$ Nur negative Zahlen oder $0$ sind für $b$ möglich.
  $D_{\max} = ℝ_{0}^{-}$
  ${\sqrt{- b}}^{2}$ $= - b$
  Die Potenz hebt die Wurzel auf.
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4. $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{{(1 - 2 x)}^{2}} = | 1 - 2 x |$
  Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
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5. $\sqrt{{(x - y)}^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{{(x - y)}^{2}}$
  Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, durch das Quadrieren wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{{(x - y)}^{2}} = | x - y |$
  Beim Wurzel ziehen heben sich Wurzel und Quadrat auf. Füge Betragsstriche ein, aufgrund möglicher negativer Zahlen.
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6. $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  Der Betrag unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Da die Exponenten von $x$ und $y$ gerade sind, darf für $x$ und $y$ alles eingesetzt werden.
  $D_{\max} = ℝ$
  $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
  Es kann keine Wurzel gezogen werden, daher lässt sich die Aufgabe nicht allgemein lösen.
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7. $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}}$
  Das $x$ steht unter der Wurzel im Quadrat. Deshalb kann man für $x$ alle Werte einsetzen.
  $\to 𝔻 = ℝ$
  Es gilt $\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}} = \sqrt{{(x \cdot y)}^{2}}$ . Ziehe dann die Wurzel, dabei heben sich Wurzel und Quadrat auf. Vergiss nicht, die Betragsstriche zu setzen!
  $= | x \cdot y |$
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Vereinfache:

$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
↓
Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
↓
Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$ $10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$ $10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$ $\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$
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$\sqrt{64 k^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\sqrt{64 k^{2}}$
↓
Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$ $\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
↓
Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln .
(Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$ $8 \cdot | k |$
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$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}} (x, y, z > 0)$

5
Vereinfache den Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ und gib an, für welche Werte von $x$ sich der Termwert $0$ ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
Definitionsmenge bestimmen
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$
Beim ersten Summand steht $x$ alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.
Beim zweiten Summanden steht $x^{2}$ unter der Wurzel. Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das $x$ in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen $x$ nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche $x$ negativ oder positiv war.
Also kann man alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.
$D = ℝ$
Radizieren
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$
Schreibe $169$ als Quadratzahlen.
$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ $=$ $\sqrt{13^{2}} \cdot x + \sqrt{13^{2} \cdot x^{2}}$
↓
Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
$=$ $13 \cdot x + 13 \cdot | x |$
Betrag auflösen
Nun musst du noch den Betrag auflösen. Dafür benötigst du eine Fallunterscheidung.
1. Fall: Positive $x$ , also $x \geq 0$
Wenn man nur positive $x$ -Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$ $=$ $13 x + 13 x$
$=$ $26 x$
$26 x = 0$ , wenn $x = 0$ gilt.
2. Fall: Negative $x$ , also $x \leq 0$
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$
Wenn man nur negative $x$ -Werte einsetzt, kann man $- x$ anstatt $| x |$ schreiben
$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$ $=$ $13 x + 13 \cdot (- x)$
$=$ $13 x - 13 x$
$=$ $0$
Für negative $x$ -Werte wird der Ausdruck also immer 0.
Der Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ wird also $0$ für alle $x \leq 0$ , also für $x = 0$ und alle negativen Zahlen.

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1 / 2} = \frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
↓
Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
↓
Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
↓
Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$ $=$ $- 7 \pm \sqrt{41}$
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$x_{1 / 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$

7
Begründe, dass für positive $a$ gilt: $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
Du willst zeigen, dass $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$
Versuche hierfür den Nenner rational zu machen.
$\frac{1}{\sqrt{a}}$
Erweitern mit $\sqrt{a}$
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}$
Benutze die Rechenregeln für das Produkt von Wurzeln.
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a \cdot a}}$
Das Quadrat und die Wurzel heben sich auf.
$= \frac{\sqrt{a}}{a}$
8
Für welche Werte von $x$ ist die „Aussage“ jeweils wahr?
1. $\sqrt{x^{2}} = - x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für welche $x$ ist $\sqrt{x^{2}} = - x$ ?
  Allgemein ist $\sqrt{x^{2}} = | x |$ . Überlege daher:
  Für welche $x$ ist $| x | = - x$ ?
  Antwort: Für alle Werte von $x$ , die kleiner oder gleich 0 sind.
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2. $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
  Für alle Werte $x \geq 1$ , weil $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = | x - 1 |$ und die Betragsfunktion nur für $x - 1 \geq 0$ gleich der rechten Seite ist.
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$(\sqrt{\frac{x^{5} y}{5 a}} : \sqrt{\frac{x^{3} y^{3}}{a^{2}}}) \cdot \sqrt{\frac{25 x}{a}}$
	↓ Fasse die Brüche in der Klammer zusammen.
$=$	$\frac{\sqrt{x^{5} y} \cdot \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{5 a} \cdot \sqrt{x^{3} y^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 x}}{\sqrt{a}}$
	↓ Fasse die Brüche zusammen.
$=$	$\sqrt{\frac{x^{5} y \cdot a^{2} \cdot 25 x}{5 a x^{3} y^{3} a}}$
	↓ Kürze den Bruch .
$=$	$\sqrt{\frac{5 x^{3}}{y^{2}}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel.
$=$	$\frac{x}{y} \sqrt{5 x}$

$5 \cdot \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{18 x}$	$=$	$5 \cdot \sqrt{2 x \cdot 18 x}$
	↓	Alles unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$5 \cdot \sqrt{36 x^{2}}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$5 \cdot 6 \cdot \| x \|$
	↓	Zusammenfassen und überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$30 x$

$\frac{\sqrt{2 a^{2}} \cdot \sqrt{12 a}}{\sqrt{8 a}}$	$=$	$\sqrt{\frac{2 a^{2} \cdot 12 a}{8 a}}$
	↓	Den Term unter der Wurzel kürzen und zusammenfassen.
	$=$	$\sqrt{3 a^{2}}$
	↓	Radizieren und dabei den Betrag nicht vergessen.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot \| a \|$
	↓	Überlegen, ob man den Betrag weglassen kann.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot a$

$\sqrt{{(d - 2)}^{2}}$	$=$	$\| d - 2 \|$
	↓	Überlegen, ob man die Betragsstriche weglassen kann.
	$=$	$\| d - 2 \|$

$\sqrt{{(- b)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{b^{2}}$
	↓	Ziehe die Wurzel, sodass die Potenz wegfällt.
	$=$	$\| b \|$

	$\sqrt{500} + 3 \sqrt{98} - 5 \sqrt{8} - 3 \sqrt{45}$
	↓ Zerlege die Zahlen unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{5 \cdot 10^{2}} + 3 \sqrt{2 \cdot 7^{2}} - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 5}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus der Wurzel .
$=$	$10 \sqrt{5} + 3 \cdot 7 \sqrt{2} - 5 \cdot 2 \sqrt{2} - 3 \cdot 3 \sqrt{5}$
$=$	$10 \sqrt{5} + 21 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 9 \sqrt{5}$
$=$	$\sqrt{5} + 11 \sqrt{2}$

	$\sqrt{64 k^{2}}$
	↓ Zerlege die Zahl unter der Wurzel .
$=$	$\sqrt{8^{2} \cdot k^{2}}$
	↓ Ziehe die Potenzen aus den Wurzeln . (Vergiss nicht die Betragsstriche um $k$ !)
$=$	$8 \cdot \| k \|$

$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$	$=$	$\sqrt{13^{2}} \cdot x + \sqrt{13^{2} \cdot x^{2}}$
	↓	Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
	$=$	$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$

$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$	$=$	$13 x + 13 \cdot (- x)$
	$=$	$13 x - 13 x$
	$=$	$0$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$	$=$	$- 7 \pm \sqrt{41}$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 5 \pm 9}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 5 + 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{4}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 5 - 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 14}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7} \sqrt{7}} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{7}$

${(\sqrt{d - 2})}^{2}$	$=$	$\| d - 2 \|$
	$=$	$d - 2$

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