Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

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Vereinfache den Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ und gib an, für welche Werte von $x$ sich der Termwert $0$ ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

Definitionsmenge bestimmen

$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$

Beim ersten Summand steht $x$ alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.

Beim zweiten Summanden steht $x^{2}$ unter der Wurzel. Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das $x$ in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen $x$ nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche $x$ negativ oder positiv war.

Also kann man alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.

$D = ℝ$

Radizieren

$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$

Schreibe $169$ als Quadratzahlen.

$\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$	$=$	$\sqrt{13^{2}} \cdot x + \sqrt{13^{2} \cdot x^{2}}$
	↓	Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
	$=$	$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$

Betrag auflösen

Nun musst du noch den Betrag auflösen. Dafür benötigst du eine Fallunterscheidung.

1. Fall: Positive $x$ , also $x \geq 0$

Wenn man nur positive $x$ -Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.

$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$	$=$	$13 x + 13 x$
	$=$	$26 x$

$26 x = 0$ , wenn $x = 0$ gilt.

2. Fall: Negative $x$ , also $x \leq 0$

$13 \cdot x + 13 \cdot | x |$

Wenn man nur negative $x$ -Werte einsetzt, kann man $- x$ anstatt $| x |$ schreiben

$13 \cdot x + 13 \cdot \| x \|$	$=$	$13 x + 13 \cdot (- x)$
	$=$	$13 x - 13 x$
	$=$	$0$

Für negative $x$ -Werte wird der Ausdruck also immer 0.

Der Term $\sqrt{169} \cdot x + \sqrt{169 \cdot x^{2}}$ wird also $0$ für alle $x \leq 0$ , also für $x = 0$ und alle negativen Zahlen.

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