Aufgaben
Ein Architekt möchte einen Plan von seinem Haus zeichnen. Er weiß, dass das Wohnzimmer 8 m lang ist und der Plan einen Maßstab von 1:100 haben soll. Wie lang muss das Wohnzimmer in seinem Plan sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab

Gegeben:

Länge in Wirklichkeit 8 m
Maßstab der Karte, in diesem Fall Maßstab des Plans 1:100

Zunächst kann man sich überlegen, dass bei diesem Maßstab 1 m in der Karte 100 m in Wirklichkeit entspricht und damit die 8 m verkleinert werden, wenn man sie in die Karte einzeichnen möchte.
Um die Länge für die Karte zu berechnen verwendet man die Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab
Dazu rechnen wir die m in cm um:
8 m = 800 cm
Und im zweiten Schritt teilen wir diese Länge durch die zweite Zahl des Maßstabs:
800 cm : 100 = 8 cm
Die Länge muss in der Karte also 8 cm betragen.
Auf einer Karte beträgt die Entfernung von zwei Städten 5 cm. Der Maßstab ist mit
1 : 1 000 000 angegeben.
Berechne, wie weit die beiden Städte in Wirklichkeit voneinander entfernt sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab

Gegeben:

Maßstab ist 1 : 1 000 000
Entfernung in der Karte ist 5 cm

Für die Vorstellung überlegt man sich, dass 1 cm in der Karte 1 000 000 cm in Wirklichkeit entsprechen. Es handelt sich also um eine Vergrößerung der 5 cm.
Man benutzt die Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab und rechnet zunächst
5cm \cdot 1 000 000 = 5 000 000 cm
Nun kann man sich 5 000 000 cm schlecht vorstellen, deshalb rechnen wir um:
5 000 000 cm = 50 000 m = 50 km
Die beiden Städte sind also 50 km voneinander entfernt.
Das Rathaus einer Stadt ist vom Krankenhaus genau 400 m entfernt. Auf einer Stadtkarte sind es genau 8 cm. Welchen Maßstab hat diese Karte?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab

Gegeben:

Entfernung in der Karte: 8 cm
Entfernung in Wirklichkeit: 400 m

Zunächst bemerkt man, dass man cm und m schlecht vergleichen kann, also rechnet man m in cm um:
400 m = 40 000 cm
Auf der linken Seite des Maßstabs steht immer die Entfernung in der Karte und auf der rechten Seite steht die Entfernung in Wirklichkeit, damit ergibt sich
8 cm : 40 000 cm
bzw
8 : 40 000
Man teilt beide Seiten durch das Kleinere (in diesem Fall ist das Kleinere 8)
und erhält den Maßstab
1 : 5 000
Ein Spielzeugmodell eines Flugzeugs ist 50 cm lang und der Maßstab ist als 1:100 angegeben. Es soll vom gleichen Flugzeug ein Ausstellungsmodell im Maßstab 1:25 gebaut werden. Wie lang wird das Ausstellungsmodell werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab

Gegeben:

Länge des Spielzeugmodells: 50 cm
Maßstab des Spielzeugmodells: 1:100

Mit diesen Angaben kann man nach der Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab die Länge des wirklichen Flugzeugs berechnen:
Der Maßstab sagt aus, dass in Wirklichkeit alles 100 mal so groß ist wie im Modell. Damit ist auch das echte Flugzeug 100 mal so lang wie das Spielzeugmodell. Damit ergibt sich die Länge des wirklichen Flugzeuges als:
100 \cdot 50 cm = 5 000 cm = 50 m Umwandeln von Einheiten

Jetzt weiß man:
Länge des wirklichen Flugzeugs: 50 m
Maßstab des Ausstellungsmodells: 1:25
Der Maßstab 1:25 sagt aus, dass in der Wirklichkeit alles 25 mal so groß ist, wie im Ausstellungsmodell. Damit ist das Ausstellungsmodell 25 mal kleiner als das wirkliche Flugzeug.
Man berechnet die Länge des Ausstellungsmodells also als
50 m : 25 = 2 m
Das Modell ist damit 2 m lang.
Eine Mücke ist im Mikroskop 12 cm groß und der Maßstab des Mikroskops ist mit 24:1 angegeben.
Wie groß ist die Mücke wirklich?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab

Gegeben:

Größe der Mücke im Mikroskop: 12 cm
Maßstab des Mikroskops: 24:1

Für die Vorstellung kann man sich überlegen, dass 24 cm im Mikroskop 1 cm in der Wirklichkeit entsprechen. Es geht also um eine Verkleinerung der 12 cm.
Man geht nach der Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab vor:
Man überlegt sich zuerst, dass alles was man im Mikroskop sieht in Wirklichkeit 24 mal kleiner ist.
Um besser rechnen zu können, wandeln wir die 12 cm um :
12 cm = 120 mm
Dann teilt man die Länge im Mikroskop durch diese Verkleinerung:
120 mm : 24 = = 5 mm(/35632)
Also ist die Mücke in Wirklichkeit 5 mm bzw 0,5 cm groß.

Die Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und der Zwergplanet Pluto umkreisen unsere Sonne. In folgender Tabelle sind die Durchmesser der Sonne und der Planeten zusammengefasst:

Planeten (und ein Stern)

Durchmesser in km

Sonne

1.388.224

Merkur

4878

Venus

12099

Erde

12736

Mars

6763

Jupiter

142643

Saturn

119973

Uranus

51199

Neptun

49670

Pluto

2165

In einem Modell unseres Sonnensystems soll die Größe der Planeten maßstabsgetreu dargestellt werden. In diesem Modell soll der Durchmesser der Erde 2cm betragen.

a) Wie groß sind in diesem Modell die anderen Planeten?

b) Die Erde wird vom Mond umkreist. Der Durchmesser des Erdmondes beträgt 3477km. Wie groß ist dieser im Modell?

Teilaufgabe a

Planeten (und ein Stern)

Durchmesser in km

Durchmesser im Modell

Sonne

1.388.224

2m 18cm

Merkur

4878

8mm

Venus

12099

1cm 9mm

Erde

12736

2cm

Mars

6763

1cm 1mm

Jupiter

142643

22cm 4mm

Saturn

119973

18cm 8mm

Uranus

51199

8cm

Neptun

49670

7cm 8mm

Pluto

2165

3mm

Teilaufgabe b

5mm

Berechne wie lang die angegebene Strecke auf der Karte angesichts des Maßstabs in Wirklichkeit ist.

17cm bei Maßstab 1:250.000

17cm bei Maßstab 1:250.000

1cm im Modell entspricht 250.000cm in der Realität.

%%17\mathrm{cm}\cdot250000=%%

%%=4250000\mathrm{cm}\widehat=42\mathrm{km}\;500m%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Bei einem Maßstab von 1:250.000 entsprechen 17cm im Modell 42km 500m in der Realität.

Auf einer Wanderkarte ist der Maßstab 1:125 000 vermerkt. Bei einer Wanderung legt man durchschnittlich 1km in 15 Minuten zurück.

a) Berechne, welche Strecke (in cm) auf der Karte einer Wanderung von zweieinhalb Stunden entspricht.

b) Das nächste Rasthaus ist auf der Karte 25mm entfernt. Berechne wie weit es entfernt ist und ob man es in einer Stunde Wanderzeit erreichen kann.

Maßstab

gegebene Infos:

  • Maßstab %%1:125\;000%%
  • Es werden %%1\;km%% in %%15%% Minuten zurückgelegt.

Teilaufgabe a

Variante 1

Rechnet man von den %%15%% Minuten hoch, so kommt man auf %%4%% Kilometer in einer Stunde. Man bewegt sich also bei einer Wanderung mit einer Geschwindigkeit von %%4\;\frac{km}{h}%%. Multipliziere diesen Wert mit der Dauer der Wanderung %%(2,5\;h)%%, um auf die Distanz zu kommen.

%%2,5\;h\cdot\;4\;\frac{km}{h}=%%

Das %%h%% kann gekürzt werden.

Als nächstes musst du noch von den %%km%% umrechen. Multipliziere dafür die %%10\;km%% mit dem Umrechnungsfaktor von %%100\;000%%, um %%cm%% zu erhalten.

%%10\;km\cdot100\;000=1\;000\;000\;cm%%

km in cm umrechnen ( %%\cdot100\;000%% )

%%1\;000\;000\;cm%%

durch 125 000 teilen

Zum Schluss musst du noch das Ergebnis auf Grund des Maßstabs durch %%125 000%% teilen. Dann erhälst du %%8\;cm%%.

Variante 2

Eine weitere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen, ist sich zu überlegen, dass in %%2,5\;h%% Stunden %%10 \cdot 15%% Minuten stecken. Da man in %%15%% Minuten einen Kilometer zurücklegt, kann man einfach %%10 \cdot 1\; km%% rechnen.

Wir wissen also, dass man %%10\; km%% zurücklegt und müssen diese Distanz noch in cm umrechen %%(\cdot100\;000)%% .

%%10\;km\cdot100\;000=1\;000\;000\;cm%%

Zum Schluss musst du noch das Ergebnis auf Grund des Maßstabs durch %%125 000%% teilen. Dann erhälst du %%8\;cm%%.

Teilaufgabe b

%%125\;000\;mm\;\cdot\;\;25\;=  3 \;125\; 000\;mm%%

Rechne das Ergebnis in km um %%(:1\;000\;000)%%.

%%=\;3,125\;km%%

Vergleiche mit der Geschwindigkeit der Wanderer.

Im Urlaub fährt Sabine mit ihren Eltern nach Griechenland. Dort sieht sie eine Statue unter einem Winkel von 37° und ist 18m von ihr entfernt. Sabine ist 1, 50 m groß.

a) Fertige eine Skizze im Maßstab 1:150 an.

b) Wie groß ist die Statue in Wirklichkeit?

In einer Ausstellung wird ein Modell der Münchner Fußball-Arena im Maßstab 1:50 gezeigt. Das Modell ist 5 Meter lang, 4,5 Meter breit und 1 Meter hoch. Das Spielfeld hat im Modell einen Flächeninhalt von 4 %%m^2%%  

a) Wie lang ist die Fußball-Arena in Wirklichkeit?

b) Ein Fußballfan möchte in seinem Garten ein Modell der Fußball-Arena im Maßstab 1:100 aufbauen. Welche Höhe hat dieses Modell und wie groß ist der Flächeninhalt des Spielfelds in diesem Modell?

Teilaufgabe a

Maßstab %%1:50%%

Die Länge des Fußballstadiums im Modell in %%\mathrm{cm}%% umrechnen.

%%5m\widehat=500\mathrm{cm}%%

Den Maßstab ( %%1\mathrm{cm}%% enstpricht %%50\mathrm{cm}%% in Realität) berücksichtigen und die Länge in Realität ausrechnen.

%%500\mathrm{cm}\cdot50=%%

 

%%25000\mathrm{cm}=250m%%

 

%%l_\mathrm{real}=250m%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das Stadium ist %%250m%% lang.

Teilaufgabe b

Maßstab %%1:100%%

A %%\left(\mathrm l\cdot\mathrm b\right)%% (bei Maßstab %%1:50%% ): %%4m^2%%

Beim Maßstab %%1:50%% halbieren sich jeweils die Länge und die Breite des Feldes.

%%\frac12\mathrm l\cdot\frac12\mathrm b=\frac{\mathbf1}{\mathbf4}\mathrm{lb}%%

Somit viertelt sich der Flächeninhalt.

%%\mathrm A=\frac14\cdot4\mathrm m^2=1\mathrm m^2%%

%%1:100%% entspricht der Hälfte von %%1:50%% . Somit haltbiert sich die Höhe.

%%h_{1:100}=1m:2=0,5m%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% DIe Höhe des Stadium beträgt %%0,5m%% und der Flächeninhalt %%1\mathrm m^2%%   bei einem Maßstab von %%1:100%% .

Berechne den Maßstab einer Karte, bei der 2 cm auf der Karte in Wirklichkeit 5 km bedeuten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab

Division

2cm entspricht 5km  5\mathrm{km}\;\Rightarrow 1cm1\mathrm{cm} entspricht 2,5km
km in cm umrechnen.
2,5km100.000=250.000cm2,5\mathrm{km}\cdot100.000=250.000\mathrm{cm}
1cm entspricht 250.000cm.
1:250.000
        \;\;\Rightarrow\;\; Der Maßstab einer Karte, auf der 2cm 5km entsprechen, ist 1:250.000.
Bei einer Modelleisenbahn ist ein 10 Meter langer Güterwagen nur 8 cm lang. Berechne den Maßstab für dieses Modell und berechne, wie groß ein Mensch in dieser Modelllandschaft ungefähr wäre.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Längeneinheiten



Zuerst rechnest du 10 10m in cm um:
10m=10100 cm=100cm10 \text{m}=10\cdot100\ \text{cm} =100 \text{cm}
Teile durch die Länge des Güterwagens im Modell. So erhälst du den Maßstab.
1000cm:8cm=1251000\text{cm}:8\text{cm}= 125
Das heißt also der Maßstab ist 1:1251:125.
Nun kannst du die Größe eines Menschens in diesem Modell ausrechnen. Nun ist die Größe des Menschen nicht angegeben, d.h. du darfst schätzen wie groß ein Mensch ungefähr ist. Wir rechnen hier mit 180cm180 \text{cm} weiter. Du kannst hierfür gerne ein Taschenrechner nehmen, da die Rechnung schwierig ist.
180cm:125=1,44cm180\text{cm}:125= 1,44\text{cm}
Antwort: Der Maßstab des Modells beträgt 1:1251:125 . Die Größe eines Menschens (1,80m)\left(1,80m\right) ist 1,44cm1,44\mathrm{cm} .
Welche Höhe hat die Zugspitze (2962m2962 \text{m}) in einem Modell des Maßstabs 1:100.0001:100.000?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division

Höhe der Zugspitze 2962  m  =^  296200  cm2962\;\text{m}\;\widehat= \;296200\;\mathrm{cm}
Maßstab 1:100.0001:100.000
1cm1\text{cm} im Modell entspricht 100.000cm100.000\text{cm} in der Realität.
296.200:100.000=2,962cm3cm296.200:100.000 =2,962\mathrm{cm}\approx3\mathrm{cm}
        \;\;\Rightarrow\;\; Die Zugspitze würde in einem Modell mit dem Maßstab 1:100.0001:100.000 ungefähr 3  cm3\;\text{cm} entsprechen.
Kommentieren Kommentare

Zu topic-folder Aufgaben zum Thema Maßstab:
Lorenzo 2019-04-24 09:45:55+0200
Ich würde Pluto auch herausnehmen weil es ja kein Planet mehr ist.
Kimu 2019-04-24 09:46:20+0200
Teile das mit dir!
Silvan 2019-04-24 09:48:18+0200
Teile das mit nicht mir!!
Nish 2019-04-24 17:19:18+0200
Habt Ihr da eine genauere Begründung, warum wir es rausnehmen sollten, @Lorenzo & @Silvan?
Es wurde ja nach einem Kommentar (siehe unten) sich darauf geeinigt, dass man den Zusatz "Zwergplanet" hinzufügt und diese Information auch nicht relevant für die Rechnung ist.

LG,
Nish
Antwort abschicken
Zu topic-folder Aufgaben zum Thema Maßstab:
Kimu 2019-04-24 09:44:14+0200
Sehr gute aufgaben aber ich würde Pluto herausnehmen.
Nish 2019-04-24 17:18:16+0200
Danke für's positive Feedback, Kimu! Freut mich (uns) sehr!

Zum Thema Pluto:
Hast du da eine genauere Begründung, warum wir es rausnehmen sollten?
Es wurde ja nach einem Kommentar (siehe unten) sich darauf geeinigt, dass man den Zusatz "Zwergplanet" hinzufügt und diese Information auch nicht relevant für die Rechnung ist.

LG,
Nish
Antwort abschicken
Zu topic-folder Aufgaben zum Thema Maßstab:
HVRSWIPP-BM 2018-05-07 20:02:26+0200
Aufgabe 6: Pluto würde ich herausnehmen, weil es nicht mehr als Planet zählt.
Nish 2018-05-07 22:25:29+0200
Vielen Dank für deinen Hinweis und deinen Vorschlag! Da ich das nicht alleine entscheiden möchte, ob wir es rausnehmen sollten oder eben nicht, hole ich mir noch weitere Meinungen in der Community und in der Redaktion ein. Dann lasse ich es dich wissen und handele nach dem Mehrheitsprinzip. Dass du Bescheid weißt.
LG,
Nish
Rebi 2018-05-09 21:36:11+0200
Ich würde Pluto auch weglassen.
Renate 2018-05-11 05:47:16+0200
Für die Rechnung hier, denke ich, spielt es doch eigentlich überhaupt keine Rolle, ob Pluto Planet oder Zwergplanet ist.

Ich würde daher vorschlagen, Pluto in der Aufgabe zu lassen,
aber
- entweder den Aufgabentext zu ändern und Pluto explizit als Zwergplaneten zu bezeichnen,
- oder den Text mit einer entsprechenden Anmerkung zu ergänzen, wie dies in einer anderen Aufgabe (https://de.serlo.org/9649) gemacht wurde.

Was meint ihr dazu?

Gruß
Renate
Alex_Lueckenhaus 2018-05-11 08:35:09+0200
Ich würde auch sagen, dass es für die Aufgabe egal ist ob er Planet oder Zwergplanet ist. Dennoch bin ich der ansicht, dass man den Text ändern sollte, damit nicht am Ende noch Schüler etwas falsches lernen und sich auf uns berufen. Man könnte ja vor Pluto einfach etwas wie "...und der Zwergplanet Pluto..." einfügen.
Nish 2018-05-15 15:41:01+0200
Hallo zusammen,
schön, dass sich mittlerweile mehrere zum Ganzen geäußert haben! Freut mich sehr :)
@HVRSWIPP-BM und @Rebi: Was meint ihr zu Renate's und Alex's Vorschlag?

Hättet ihr etw. dagegen, also ein Veto, wenn wir z.B. Alex's Vorschlag umsetzen würden? Das Handlungsbedarf besteht sollte ja mittlerweile klar sein.

Wäre schön, wenn ihr diese Woche noch antworten könntet, wenn ihr ein Veto habt. Ansonsten, sry., dass ich mich jetzt erst melde, hatte viel um die Ohren für die Uni und sonstige Serlo-Aufgaben...

LG,
Nish
HVRSWIPP-BM 2018-05-16 07:55:52+0200
Die Änderungsvorschläge hören sich doch gut an. Wichtig finde ich den Punkt, dass die Schüler nichts Falsches lernen! Super, dass ihr euch kümmert.
Nish 2018-05-18 16:29:12+0200
Super, danke für deine Rückmeldung, HVRSWIPP-BM! :)

@renate, @alex: Kann einer von euch sich bitte um die Änderung kümmern? ;)

LG,
Nish
Nish 2018-05-26 12:30:51+0200
@HVRSWIPP-BM, @Alex: Ist erledigt ;) Danke, Alex! Danke auch dir nochmal, @HVRSWIPP-BM! Falls du weiteres Feedback (Verbesserungsvorschläge) hast, immer her damit! Sehr wertvoll für uns :)

LG,
Nish
Antwort abschicken