Im Jahr 2000 hat Frau Schuhmacher ein Sparkonto mit 5000 € mit einen Zinssatz von 1 % pro Jahr angelegt. Noch im gleichen Jahr hebt Frau Schumacher jedoch 10 € ab. Im Jahr darauf schon 20 € und in jedem weiteren Jahr wieder 10 € mehr. Die Verzinsung erfolgt jeweils erst nach der Abhebung. Berechne für die ersten 10 Jahre den Kontostand nach der Verzinsung. Gibt es ein Maximum (oder Minimum) des Kontostands? Erkläre warum. Wie wird sich der Kontostand weiterentwickeln?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung

Tipp: Überlege dir, was gegeben und gesucht ist.Berechne für das erste Jahr (nach der Abhebung) die Zinsen und den neuen Kontostand. Wiederhole es für das zweite Jahr. Erstelle eine Wertetabelle für alle 10 Jahre.
Wechselspiel von Zinsen und Abhebung
Gegeben:
Anfangskontostand: KAnfang=5000 €K_{Anfang}=5000~€
Zinssatz: p=1%p=1 \% 
Zinsen: Z=pKZ=p \cdot K
Abhebungen: aJahr1=10 € ; aJahr2=20 € ; a_{Jahr 1} =10~€ ~;~ a_{Jahr 2}=20~€ ~; ~…
Berechne den Kontostand nach den ersten beiden Jahren.
KJahr1=(KAnfangaJahr1)(1+p)=(5000 €10 €)(1+1%)=5039,90 €\begin{array}{rcl}K_{Jahr 1} &=& \left( K_{Anfang} - a_{Jahr1} \right) \cdot \left( 1 + p \right)\\&=& \left( 5000~€ - 10~€ \right) \cdot \left( 1+ 1 \% \right) \\&=& 5039,90~€\end{array}%% %%\begin{array}{rcl}K_{Jahr 2} &=& \left( K_{Jahr1} - a_{Jahr2} \right) \cdot \left( 1 + p \right)\\&=& \left( 5039,90~€ - 20~€ \right) \cdot \left( 1+ 1 \% \right) \\&=& 5070,10~€\end{array}
Überlege dir eine allgemeine Formel, um die Zinsen für das nächste Jahr zu berechnen.
KJahr=(KVorjahraJahr)(1+p)K_{Jahr} = \left( K_{Vorjahr}-a_{Jahr} \right) \cdot \left( 1+ p \right)
Erstelle die Wertetabelle für alle 10 Jahre.
JahrKVorjahraJahrZKJahr15000,00 €10 €49,90 €5039,90 25039,90 €20 €50,20 €5070,10 35070,10 €30 €50,40 €5090,50 45090,50 €40 €50,50 €5101,00 55101,00 €50 €50,51 €5101,52 65101,52 €60 €50,42 €5091,93 75091,93 €70 €50,22 €5072,15 85072,15 €80 €49,92 €5042,07 95042,07 €90 €49,52 €5001,59 105001,59 €100 €49,02 €4950,61 \begin{array}{r|r|r} \bf{Jahr} & K_{Vorjahr} & a_{Jahr} & Z& \bf{K_{Jahr}} \\ \hline \bf{1} & 5000,00~€ & 10~€ & 49,90~€ & \bf{5039,90~€} \\ \bf{2} & 5039,90~€ & 20~€ & 50,20~€ & \bf{5070,10~€} \\ \bf{3} & 5070,10~€ & 30~€ & 50,40~€ & \bf{5090,50~€} \\ \bf{4} & 5090,50~€ & 40~€ & 50,50~€ & \bf{5101,00~€} \\ \bf{5} & 5101,00~€ & 50~€ & 50,51~€ & \bf{5101,52~€} \\ \bf{6} & 5101,52~€ & 60~€ & 50,42~€ & \bf{5091,93~€} \\ \bf{7} & 5091,93~€ & 70~€ & 50,22~€ & \bf{5072,15~€} \\ \bf{8} & 5072,15~€ & 80~€ & 49,92~€ & \bf{5042,07~€} \\ \bf{9} & 5042,07~€ & 90~€ & 49,52~€ & \bf{5001,59~€} \\ \bf{10} & 5001,59~€ & 100~€ & 49,02~€ & \bf{4950,61~€} \\\end{array}
(In der Aufgabe war nur eine Tabelle mit der erste und letzte Spalte (JahrJahr und KJahrK_{Jahr}) gefragt. Wenn du magst kannst du aber auch die anderen Größen überprüfen. ;-) )
Gibt es ein Maximum oder Minimum des Kontostands (KJahrK_{Jahr})?
Es gibt ein Maximum des Kontostands nach 5 Jahren mit 5101,52 €.
Ekläre, wie es zu dem Maximum kommt.
In den ersten Jahren steigt das Guthaben. Die Zinsen sind höher als der abgehobene Betrag. Nach 5 Jahren (Maximum des Guthabens) kehrt sich dies um: Die Zinsen decken nicht mehr die steigende Abhebung.
Erkläre den Verlauf des Guthabens. Schätze ab, wie es sich nach den 10 Jahren weiterentwickelt.
Nach dem 5. Jahr (Maximum des Guthabens) nimmt das Guthaben erst um ca. 10 € (6. Jahr), dann um ca. 20 € (7. Jahr) ab. Die Abhebungen steigen weiter an und lassen das Guthaben schrumpfen. Daher werden auch die Zinsen auf das Guthaben immer geringer. Das Guthaben nimmt insgesamt immer stärker ab.