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Prozentrechnung mittels Formeln

Aufgaben zur Prozentrechnung lassen sich auf unterschiedliche Weisen lösen. In diesem Artikel findet man die wichtigsten Formeln mit Erklärungen und Beispielen. Eine alternative Lösungsmethode ist das Lösungsverfahren mittels Dreisatz.

Für eine grundsätzliche Anschauung zum Prozentzeichen und seiner Bedeutung siehe Prozent. Hier werden auch die Fachbegriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz erklärt.

Eine detaillierte Einführung in all diese Begriffe gibt es in dem Kurs Einführung in Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.

Formeln für die Prozentrechnung

In den Formeln zur Prozentrechnung werden hier die folgenden Zeichen benutzt:

W\sf W: Prozentwert

G\sf G: Grundwert

p\sf p: Prozentsatz

Um den Prozentwert, den Grundwert oder den Prozentsatz zu berechnen, braucht man sich nur eine Pyramide zu merken (in der Graphik kommt die gleiche Pyramide dreimal vor).

Sucht man zum Beispiel den Grundwert, so muss man ihn nur mit dem Finger zudecken (grauer Kreis in der oberen Pyramide). Übrig bleibt die Formel

G=Wp\sf G = \dfrac{W}{p}

(Der Strich unter dem W\sf W bedeutet also eine Division.)

Genauso kann man den Prozentsatz oder den Prozentwert finden, indem man ihn in der Pyramide zudeckt.

Zusammengefasst lauten die Formeln:

Grundwert

Prozentsatz

Prozentwert

Bemerkung

Leider ist die Abkürzung für die drei Größen Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz nicht immer gleich, es gibt viele alternative Bezeichnungen (z. B. Prozentwert PW\sf PW oder P\sf P – großgeschrieben zur Unterscheidung vom Prozentsatz p\sf p, Grundwert GW\sf GW, …).

Achtung

  • Wenn der Prozentsatz z. B. 5%\sf 5\,\% ist, dann ist p=0,05\sf p = 0{,}05 und nicht 5\sf 5.

  • Wenn der Prozentsatz z. B. 5%\sf 5\,\% ist, wird in manchen Schularten dieser Prozentsatz in die Formel p=5%100%\sf p=\frac{5\,\%}{100\,\%} eingesetzt, um p\sf p zu erhalten.

Man kann diese Umrechnung auch bereits in den Formeln berücksichtigen und diese mit 100 % multiplizieren bzw. dividieren, um direkt die Prozentzahlen einsetzen zu können. Die %-Zeichen kürzen sich bei der Berechnung des Grund- oder des Prozentwerts, bei der Ermittlung des Prozentsatzes erhält man das Ergebnis gleich in der Prozentdarstellung.

Grundwert

Prozentsatz

Prozentwert

Fragestellungen

Der Prozentwert W\sf W gibt Antwort auf Fragen wie:

  • „Wie viele Schüler sind 25%\sf 25\,\% von 24\sf 24 Schülern?“

Der Grundwert G\sf G gibt Antwort auf Fragen wie:

  • „Wenn 6\sf 6 Schüler 25%\sf 25\,\% der Klasse sind, wie viele Schüler hat dann die ganze Klasse?“

Der Prozentsatz p\sf p gibt Antwort auf Fragen wie:

  • „Wie viel Prozent machen 6\sf 6 Schüler von 24\sf 24 Schülern aus?“

  • „Wie viel sind 3%\sf 3\,\% von 100\sf 100 Euro?“

  • „Wenn Sie beim Kauf eines Autos 500\sf 500\,€ Rabatt bekommen haben und dies 15%\sf 15\,\% Rabatt auf den Kaufpreis entspricht, wie hoch war dann der Kaufpreis für das Auto?“

  • „Wenn der Gewinn eines Unternehmens im Vorjahr 10000\sf 10\,000\,€ betrug und der Gewinn dieses Jahr bei 12000\sf 12\,000\,€ liegt, wie viel Prozent Gewinn hat das Unternehmen erwirtschaftet?“

Beispielaufgaben zur Prozentrechnung

Doch wie wendet man die Formeln zur Lösung von Aufgaben zur Prozentrechnung an? Folgende Beispiele erklären, wie man den Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz berechnet.

Hinweis: Der Artikel Prozentrechnung mittels Dreisatz löst die gleichen Aufgaben auf eine andere Art und Weise.

Prozentwert gesucht

Wie viel sind 30%\sf 30\,\% von 250\sf 250\,€?

Einsetzen in die Prozentformel

W=pG=30%250=0,3250=75\sf W=p\cdot G=30\%\cdot250\,€=0{,}3\cdot250\,€=75\,€

oder

W=pG=30%250=75\sf W=p\cdot G=30\,\%\cdot250\,€ =75\,€

Antwort

30%\sf 30\,\% von 250\sf 250\,€ sind 75\sf 75\,€.

Grundwert gesucht

Eine Ware wurde um 20%\sf 20\,\% verbilligt und kostet jetzt 160\sf 160\,€. Was kostete sie vorher?

Einsetzen in die Prozentformel

Der Prozentwert W\sf W gibt den Anteil am Grundwert an. Da die Ware um 20%\sf 20\,\% verbilligt wurde, kostet sie nur noch 80%\sf 80\,\% des Ausgangspreises, also des Grundwerts.

G=Wp=16080%=1600,80=200\sf G=\dfrac Wp=\dfrac{160\,€}{80\,\%}= \dfrac {160\,€}{0{,}80}=200\,€

Antwort

Sie kostete vorher 200\sf 200\,€.

Prozentsatz gesucht

Von den 25\sf 25 Schülern haben 8\sf 8 zu Hause eine Katze. Wie viel Prozent der Klasse sind das?

Einsetzen in die Prozentformel

Antwort

Es sind 32%\sf 32\,\%.

Weiterführende Links

Mehr Informationen zum Thema „Rechnen mit Prozenten“ findest Du hier:

Weitere Aufgaben zum Thema „Rechnen mit Prozenten“ findest Du hier:


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