Aufgaben

Primzahlzwillinge und Primzahldrilling

  1. Ein Primzahlzwilling besteht aus zwei Primzahlen, deren Differenz zwei ist z.B. (5,7). Gib alle Primzahlzwillinge zwischen 1 und 100 an.

  2. Primzahldrillinge werden entsprechend den Primzahlzwillingen festgelegt, z. B. (3,5,7). Gib alle Primzahldrillinge zwischen 0 und 100 an.

 

Ermittle nach dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen der Liste von %%2%% bis %%80%%. Im folgenden Video werden beispielhaft die ersten Schritte des Verfahrens dafür gezeigt. Ergänze die weiteren Verfahrensschritte, die nicht im Video gezeigt werden, bis du alle Primzahlen der Liste bestimmt hast. Andernfalls kannst du sofort damit beginnen, die vollständige Liste nach dem Verfahren zu bearbeiten.

Führst du das Verfahren weiter aus, so ist die nächste Primzahl die %%7%%. Dementsprechend streichst du alle Vielfachen der 7. Erstaunlicherweise kannst du das Verfahren nach diesem Schritt bereits beenden. Die restlichen nicht-durchgestrichenen Zahlen sind Primzahlen. Alle Primzahlen von %%2%% bis %%80%% sind somit: %%2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\;23,\;29,\;31,\;37,\;41,\;43,\;47,\;53,\;59,\;61,\;67,\;71,\;73%% und %%79%%.

sieb des eratosthenes

Beweise folgenden Zusammenhang:

Beim Ermitteln der Primzahlen nach dem Sieb des Eratosthenes lässt sich Folgendes feststellen: Die Verfahrensschritte müssen in einer Liste %%\left\{2,…,N\right\}%% nur bis zu einer bestimmten Primzahl %%p%% angewendet werden. Für diese Zahl %%p%% gilt: %%p\leq\sqrt N%% (Die Primzahl p muss kleiner bzw. gleich der Wurzel aus der größten Listenzahl N sein.) Oder anders formuliert: Das Verfahren endet bei der Primzahl %%q%% mit %%q^2>N%%.

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