Aufgaben

Runde auf Hunderter:

458782

Runden natürlicher Zahlen

%%458782 \approx ?%%

Die Zahl 458782 soll auf Hunderter gerundet werden.

Dazu überlegst du dir,

  1. zwischen welchen beiden Hunderter-Zahlen die Zahl 458782 liegt,
  • und an welcher der beiden Hunderter-Zahlen sie näher ist.

Hunderter-Zahlen erkennt man daran, dass sie hinten zwei Nullen haben.

Herausfinden der beiden Nachbarhunderter

%%…00 \ ? \le 458782 \le…00 \ ?%%

Die Hunderter-Zahl, die unter 458782 liegt, erhältst du dadurch,

  • dass du einfach statt der letzten beiden Ziffern von 458782 zwei Nullen schreibst.

%%458700 \le 458782 \le…00\ ?%%

Und die Hunderter-Zahl, die über 458782 liegt, bekommst du,

  • indem du jetzt einen Hunderter weiterzählst.

%%458700 \le 458782 \le 458800%%

Runden auf den richtigen Hunderter

%%458700 \le 458782 \le 458800%%

Ob 458782 näher an 458700 oder näher an 458800 liegt, erkennst du

  • an der Zahl, die bei 458782 unmittelbar nach der Hunderterstelle (das heißt also auf der Zehnerstelle) kommt.

Hier ist das die 8 nach 4587… in 458782.

8 ist größer als 5.

Deshalb ist 458782 näher an 458800 als an 458700,
und du musst daher bei dieser Aufgabe aufrunden auf die größere Hunderterzahl:

Ergebnis

%%458782 \approx 458800%%, wenn man auf Hunderter rundet.

Runde auf Tausender
123499

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es wird auf Tausender gerundet, deshalb musst du die Hunderter-Stelle beachten. Diese ist eine 4, also wird abgerundet.
123499123000123499\approx123000
563499

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es wird auf Tausender gerundet, deshalb musst du die Hunderter-Stelle beachten. Diese ist eine 4, also wird abgerundet.
563499563000563499\approx563000
769513

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es wird auf Tausender gerundet, deshalb musst du die Hunderter-Stelle beachten. Diese ist eine 5, also wird aufgerundet. Beachte, dass es hier einen Übertrag gibt.
769513770000769513\approx770000
Runde auf Zehntausender:
1995123

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Achte hierbei auf den Übertrag, den du machen musst.
199512320000001\,995\,123\approx2\,000\,000
4995198

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Achte darauf, dass du einen Übertrag machen musst.
499519850000004\,995\,198\approx5\,000\,000
4874999
Gegeben ist folgende Tabelle:

Runde

auf 10er

auf 100er

auf 1 000er

auf 10 000er

8 951

25 499

24 999

4 785 934

Fülle die Tabelle aus!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Runde

auf 10er

auf 100er

auf 1 000er

auf 10 000er

8 951

8 950

9 000

9 000

10 000

25 499

25 500

25 500

25 000

20 000

24 999

25 000

25 000

25 000

20 000

4 785 934

4 785 930

4 785 900

4 786 000

4 790 000

Welche natürlichen Zahlen ergeben 7000, wenn man sie auf ganze Hunderter rundet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Gesucht ist die Menge der natürlichen Zahlen, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.
Das ist die Menge von der kleinsten bis zur größten Zahl, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.
Alle Zahlen in dieser Menge sind größer oder gleich einer Zahl, die auf 7000 aufgerundet wird. Daraus folgt, dass alle diese Zahlen gerundet größer oder gleich 7000 sind. Gleichzeitig sind alle Zahlen der Menge kleiner oder gleich einer Zahl, die auf 7000 abgerundet wird. Daraus folgt, dass alle Zahlen gerundet größer oder gleich 7000 sind.
Zusammengenommen folgt, dass alle Zahlen gerundet gleich 7000 sein müssen, da sie nicht gleichzeitig größer und kleiner sein können.

Die kleinste gesuchte Zahl

Da auf Hunderter gerundet wird ist die Zehnerstelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen. Die Einerstelle spielt beim Runden keine Rolle, kann also eine beliebige Zahl sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Null. Da die Zehnerstelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab (701=6970-1=69).
Damit ergibt sich 6950 als kleinste Zahl.

Die größte gesuchte Zahl

Hier ist wieder die Zehnerstelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4. Die Einerstellen hat wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen. Da die Zehnerstelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 7000.
Also ist 7049 die Maximalzahl.
Damit ergibt sich die gesuchten Zahlenmenge:
L={6950,6951,,7048,7049}L=\{6950,6951,…,7048,7049\}.
Welche natürlichen Zahlen ergeben 70000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Finde heraus, welche Stelle relevant ist, wenn du auf Tausender rundest. Dies sind die Hunderter.
Überlege dir die kleinstmögliche Zahl, die nach wenn man nach den Regeln des Rundens auf Tausender rundet, noch auf 70 000 aufgerundet werden kann.
6950070000\displaystyle 69\,500 \approx 70\,000
Überlege dir die größtmögliche Zahl, die nach wenn man nach den Regeln des Rundens auf Tausender rundet, noch auf 70 000 abgerundet werden kann.
7049970000\displaystyle 70\,499 \approx 70\,000
Alle natürlichen Zahlen zwischen 69 500 und 70 499 ergeben gerundet 70000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet.
Die Lösungsmenge ist also: L=[69500,70499]L=\left[69500,70499\right]
Welche natürlichen Zahlen ergeben 60 000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Die kleinstmögliche Zahl, die auf Tausender gerundet 60\,000 ergibt, ist 59\,500.
Die größtmögliche Zahl, die auf Tausender gerundet 60\,000 ergibt, ist 60\,499.
Die Lösungsmenge ist also:
L=[59500,  60499]L=\left[59\,500,\;60\,499\right]
Die folgende Tabelle enthält für die wichtigsten Sportarten eines Vereins die Zahl der angemeldeten Mitglieder:

Sportart

Anzahl der Mitglieder

Fussball

5245

Handball

826

Leichtathletik

848

Reiten

601

Schwimmen

610

Tennis

2249

Tischtennis

769

Turnen

4244

Stelle die Tabelle In einem Diagramm dar, indem du die Mitgliederzahlen geschickt rundest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Es bietet sich an, die Zahl der Mitglieder auf ihre Hunderter-Stellen zu runden.

Sportart

Anzahl der Mitglieder

Fussball

5200

Handball

800

Leichtathletik

800

Reiten

600

Schwimmen

600

Tennis

2200

Tischtennis

800

Turnen

4200

Trägst du nun die Zahl der Mitglieder in Tausender-Schritten auf der y-Achse ein, so entsteht das folgende Diagramm. Natürlich gibt es mehrere mögliche Lösungswege.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/2690_50axh9I8cD.xml
In Deutschland leben, auf halbe Millionen gerundet, achtzig Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und und wie viele höchstens in Deutschland?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Die kleinste Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 79\,750\,000. So viele Leute leben also mindestens in Deutschland.
Die größte Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 80\,249\,999. Also leben maximal so viele Leute in Deutschland.
Mexico-City hat, auf ganze Hunderttausender gerundet, 20000000 Einwohner. Wie viele Menschen leben mindestens, wie viele höchstens in dieser Stadt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Bei dieser Aufgabe geht es darum, die kleinste und die größte Zahl zufinden, die auf Hunderttausender gerundet 20 000 000 ergeben.
Dadurch ergeben sich mindestens 19 950 000 und maximal 20 049 999 Einwohner.

Begründung für die minimalen Einwohnerzahl

Die minimale Einwohnerzahl ist die kleinste Zahl die aufgerundet 20 000 000 ergibt.
Da auf Hunderttausender gerundet wird ist die Zehntausender-Stelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen. Alle kleineren Stellen spielen beim Runden keine Rolle, können also beliebige Zahlen sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Nullen. Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.
Damit ergibt sich 19 950 000 als minimale Einwohnerzahl.

Begründung für die maximale Einwohnerzahl

Die Maximalzahl von Einwohnern ist größte Zahl, die noch auf 20 000 000 abgerundet wird.
Hier ist wieder die Zehntausender-Stelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4. Die kleineren Stellen haben wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen. Da die Zehntausender-Stelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 20 000 000.
Also ist 20 049 999 die Maximalzahl.
In Indien leben, auf halbe Millionen gerundet, eine Milliarde und zweihundert Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und wie viele höchstens in Indien?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Gegeben ist die Zahl 1 200 000 000, die die Anzahl der Einwohner in Indien angibt.

Was ist nun gesucht?

Gesucht sind die zwei Zahlen, die auf eine halbe Million ab- bzw. aufgerundet wieder die Zahl 1 200 000 000 ergeben.
Dabei ist die Zahl, die abgerundet wieder 1 200 000 000 ergibt, die Höchstanzahl an Einwohnern in Indien. Ich bezeichne diese Zahl hier mit x.
Die Zahl, die aufgerundet wieder 1 200 000 000 ergibt, ist die Mindestzahl an Einwohnern in Indien. Diese bezeichne ich hier mit y.
Also sind x und y gesucht.
Auf eine halbe Millionen zu runden, heißt, dass man sich die von rechts aus gesehen die fünfte und sechste Stelle einer Zahl anschaut, um mit deren Hilfe wie gewohnt auf- oder abzurunden.
Zum Beispiel:
Bei 12 240 000 wird die Zahl auf 12 000 000 abgerundet.
Bei 12 760 000 wird die Zahl auf 13 000 000 aufgerundet.
Bei 12 500 000 bleibt die Zahl natürlich gleich beim Auf- und Abrunden.
Hinweis:
Es gibt bei der Lösung der Aufgabe eine gute Erklärung und Vorgehensweise zum Runden auf halbe Hunderttausender. Diese sind natürlich auch auf das Runden auf halbe Millionen anwendbar.

Herleitung von x und y mit Hilfe obiger Definition

Schaue dir jeweils die sechste und die fünfte Stelle von x an:
x muss so gewählt werden, dass sie minimal, aber auch Aufrundbar ist. Die 5 ist die kleinste Zahl, bei der aufgerundet wird, also setzt du diese auf die Zehntausender-Stelle. Da die Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einer-Stelle nicht wichtig beim Runden auf eine halbe Million ist, nimmst du an diesen Stellen Nullen, weil die Zahl klein sein soll.
\Rightarrow x = _ _ _ _ 7 5 0 0 0 0.
Da die Millionen-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.
\Rightarrow x=1199750000x = 1 1 9 9 7 5 0 0 0 0.
y muss so gewählt werden, dass sie maximal, aber auch Abrundbar ist. Dieses mal setzt du an die Hunderttausender-Stelle eine 4, da sie die größte Zahl ist, bei der abgerundet wird. Wie vorher sind die kleineren Stellen nicht wichtig, wähle also Neunen, da die größte Zahl gesucht ist.
\Rightarrow y = _ _ _ _2 4 9 9 9 9
Da die Millionen-Stelle abgerundet wird, verändern sich die höheren Stellen nicht. \Rightarrow y=1200249999y = 1 2 0 0 2 4 9 9 9 9.

Ergebnis

x= 1199750000;
y= 1200249999;

In Bayern leben, auf halbe Hunderttausender gerundet, dreizehn Millionen Menschen. Wie viele Leute leben mindestens und wie viele höchstens in Bayern?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Finde die gerundete Zahl in der Aussage "In Bayern leben, auf halbe Hunderttausender gerundet, dreizehn Millionen Menschen."
13 000 000
Du kennst bereits das Runden auf ganze Hunderttausender. Betrachte dazu die Stelle vor den Hunderttausendern, also die Zehntausender:150000.1\mathbf{5}0 \, 000.
Ist also die Zahl ab dem Zehntausender-Stellenwert echt kleiner als 50 000, so runde ab, sonst runde auf.
Nun sollst du nicht auf ganze, sondern auf halbe Hunderttausender runden, also in Schritten von 50 000.
  • Ist die Zahl ab der Zehntausenderstelle kleiner als 25 000, runde ab auf die nächste ganze Hunderttausend.
  • Ist die Zahl zwischen 25 000 und 49 999 , runde auf zur nächsten halben Hunderttausend.
  • Ist die Zahl zwischen 50 000 und 74 999, runde ab zur nächsten halben Hunderttausend.
  • Ist die Zahl zwischen 75 000 und 999 999, runde auf zur nächsten ganzen Hunderttausend.
Ausgehend von dieser Aussage, gib nun Grenzen an, wie viele Menschen mindestens und wie viele Menschen höchstens in Bayern leben.

Untergrenze

?13000000? \approx 13 \, 000 \, 000
Überlege dir die kleinstmögliche Zahl, die nach den Rechenregeln fürs Runden noch auf 13 000 000 aufgerundet werden kann.
1300000050000=12950000\begin{array}{r}13\,\,000\,000\\-\,50\,000\\=\, 12\,950\,000\end{array}
Überlege dir dazu die nächstkleinere Zahl vor 13 000 000, wenn auf halbe Hunderttausender gerundet wird.
129750001300000012\,975\,000 \approx 13\, 000 \, 000
Gib nach den Regeln fürs Runden die kleinstmögliche Zahl, die noch auf 13 000 000 aufgerundet wird, an.
1297500012\,975\,000

Obergrenze

?11000000? \approx 11\,000\,000
Überlege dir die größtmögliche Zahl, die nach den Rechenregeln fürs Runden noch auf 13 000 000 abgerundet werden kann.
13000000+50000=13050000\begin{array}{r}13\,\,000\,000\\+\,50\,000\\=\, 13\,050\,000\end{array}
Überlege dir dazu die nächstgrößere Zahl, wenn auf halbe Hunderttausender gerundet wird.
130249991300000013\,024\,999 \approx 13\, 000 \, 000
Gib nach den Regeln fürs Runden die größtmögliche Zahl, die noch auf 13 000 000 abgerundet wird, an.
1302499913\,024\,999

Ergebnis

Die möglichen Einwohnerzahlen Bayerns, die wir aus dieser Aussage schließen können, sind alle Zahlen zwischen 12 975 000 und 13 024 999. Stelle sie in einer Lösungsmenge dar:
L=[12  975  000,  13  024  999]L=\left[12\;975\;000,\;13\;024\;999\right]
Ein Fußballer verdient im Jahr, auf ganze Zehntausend Euro gerundet, zwei Millionen Euro. Wie viel verdient er höchstens, wieviel mindestens?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Das Ziel der Aufgabe ist, die kleinste und größte Zahl zu finden, die gerundet 20000002000000 ergibt, wenn du auf Zehntausender rundest.
Wenn du auf Zehntausender rundest, ist nur die Tausender-Stelle wichtig. Ist hier eine 1,2,3 oder 4, rundest du ab. Bei einer 5,6,7,8 oder 9 rundest du auf.

Lösungsweg für die kleinste Zahl

Die 5 ist die kleinste Zahl, bei der aufgerundet wird, also setzt du diese auf die Tausender-Stelle. Da die Hunderter-, Zehner- und Einer-Stelle nicht wichtig beim Runden auf Zehntausender ist, nimmst du an diesen Stellen Nullen, weil die Zahl klein sein soll.
Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.
Deshalb ist 19950001995000 die Lösung für die kleinste Zahl.
Du kannst das Ergebnis leicht prüfen, indem du versuchst die Zahl weiter zu verkleinern. Denn dann ergibt sich beim Runden auf Zehntausender nicht mehr 2000000. 1994999 ist zum Beispiel auf Zehntausender gerundet 1990000.

Lösungsweg für die größte Zahl

Dieses mal setzt du an die Tausender-Stelle eine 4, da sie die größte Zahl ist, bei der abgerundet wird. Wie vorher sind die kleineren Stellen nicht wichtig, wähle also Neunen, da die größte zahl gesucht ist.
Da die Zehntausender-Stelle abgerundet wird, verändern sich die höheren Stellen nicht. Deshalb ist 20049992004999 die Lösung für die größte Zahl.///
Du kannst das Ergebnis leicht prüfen, indem du versuchst die Zahl weiter zu vergrößern. Denn dann ergibt sich beim Runden auf Zehntausender nicht mehr 2000000. 2005000 ist zum Beispiel auf Zehntausender gerundet 2010000.
Bei einem Fußballspiel sind 10823 Zuschauer im Stadion. Ein Reporter überlegt sich auf Einer, Zehner, Hunderter, Tausender oder Zehntausender zu runden.

Bestimme die jeweiligen Ergebnisse nach dem Runden und begründe, welche sinnvoll sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

gerundeter Wert

sinnvoll?

auf 1er

%%10823%%

Ja, falls du ein genaues Ergebnis angeben willst.

auf 10er

%%10823\approx10820%%

Eher nein. Das Ergebnis ist weder besonders genau noch sind 5 Personen mehr oder weniger wirklich interessant.

auf 100er

%%10823\approx10800%%

Ja, bei einer Zahl mit 5 Stellen kann man auf die 100er Stelle runden und bekommt eine gute Größenvorstellung.

auf 1 000er

%%10823\approx11000%%

Ja, bei einer Zahl mit 5 Stellen kann man auf die 1000er Stelle runden und bekommt eine gute Größenvorstellung.

auf 10 000er

%%10823\approx10000%%

Möglich, der Rundungsfehler wird zwar relativ groß, aber das Größenverhältnis der Anzahl der Zuschauer passt.

Bei einem Fußballspiel waren 5278 Besucher im Stadion. Ein Sportreporter möchte in einem Zeitungsbericht die Anzahl der Besucher angeben. Welche Zahl sollte er nennen?
 
Begründe deine Meinung.
Runde die Zahl 5734 auf 10er, 100er, 1000er und 10000er und gib jeweils den Rundungsfehler an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden

Runde auf die gesuchte Stelle. Den Rundungsfehler kannst du berechnen, indem du dir die Zahl und deren gerundeten Wert anschaust und dann die kleinere der beiden Zahlen von der größeren abziehst.

gerundeter Wert

Rundungsfehler

auf 10er

%%5734 \approx 5730%%

%%5734-5730=4%%

auf 100er

%%5734 \approx 5700%%

%%5734-5700=34%%

auf 1000er

%%5734 \approx 6000%%

%%6000-5734=266%%

auf 10000er

%%5734 \approx 10\;000%%

%%10\;000-5734=4266%%

Gib die Zahlen in einer Doppelungleichung an, die auf ganze Hunderter gerundet die Zahl 1300 ergeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden natürlicher Zahlen

Die kleinste Zahl, die auf Hunderter gerundet 1300 ergibt, ist 1250.
Die größte Zahl, die auf hunderter gerundet 1300 ergibt, ist 1349.
Alle Zahlen , die dazwischen liegen, nennen wir zz. Daraus ergibt sich die Doppelungleichung:
1250z13491250\leq z\leq1349

Schwierige Aufgabe: Auf einem Werbeplakat ist ein 6m großes Gesicht abgebildet.

Wie groß ist in etwa ein Schneidezahn?

Runden und Abschätzen

Gegeben: Das Gesicht auf dem Plakat ist etwa 6m hoch, ein "normales" etwa 25cm. Ein Schneidezahn ist etwa 1,5 cm hoch.

Rechne die m in cm um .

%%6\text{m}=600\text{cm}\\%%

Berechne den Faktor mit dem das Gesicht gestreckt wurde.

%%600:25=24\\%%

Auch der Schneidezahn wurde auf dem Bild mit diesem Faktor gestreckt. Multipliziere also die größe eines "normalen" Schneidezahns mit dem berechneten Faktor.

%%24\cdot1,5\text{cm}=36\text{cm}\\%%

%%\;\;\Rightarrow%% Der Schneidezahn auf dem Plakat ist etwa 36 cm groß.

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