Die Gleichung %%x^2+1=0%% hat keine Lösung %%x\in\mathbb{R}%%. Sie lösen zu wollen führt auf die einfachste Situation in der komplexe Zahlen benötigt werden. Man definiert die imaginäre Zahl %%i%% als die Lösung der obigen Gleichung d. h. es gilt %%i^2=-1%%.

Die komplexen Zahlen definiert man als die Menge aller %%z= a+ b\cdot i%%, wobei %%a,b%% reelle Zahlen sind. In Mengenschreibweise %%\mathbb{C}=\{ a+ b\cdot i \mid a,b\in\mathbb{R}\}%%. Für %%z= a+ b\cdot i%% heißt %%a=\mathrm{Re}( z)%% der Realteil von %%z%% und %%b=\mathrm{Im}( z)%% der Imaginärteil von %%z%%.

Mit Hilfe der komplexen Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, die in %%\mathbb{R}%% nicht gelöst werden können.

Beispiele

%%z_1\;=\;4+3\cdot i%% %%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%\text{Re}({ z}_1)=4,\,\text{Im}( z_1)=3%%

Definitionen

Die konjugiert komplexe Zahl zu %%z= a+ b\cdot i%% definiert man als %%\overline{ z}= a- b\cdot i%% .

Der Betrag einer komplexen Zahl ergibt sich durch %%\left| z\right|=\sqrt{ a^2+ b^2}%% wobei %%z\cdot\overline z=\left|z\right|^2%% .

Darstellung

Die reellen Zahlen sind darstellbar auf einem Zahlenstrahl. Die komplexen Zahlen stellt man auf der Gaußschen Zahlenebene (in Arbeit) dar.

Rechenregeln

Man addiert zwei komplexe Zahlen zu einer neuen, indem man die Realteile und die Imaginärteile addiert.

Die Summe aus %%z_1%% , %%z_2%% %%\in\mathbb{C}%% %%{ z}_1= a+ b\cdot i%% , %%{ z}_2= c+ d\cdot i%% ergibt sich als

%%{ z}_1+{ z}_2=\left( a+ b\cdot i\right)+\left( c+ d\cdot i\right)=\left( a+ c\right)+\left( b+ d\right)\cdot i%%

Man multipliziert zwei komplexe Zahlen mit Hilfe des Distributivgesetzes.

%%{ z}_1\cdot{ z}_2=\left( a+ b\cdot i\right)\cdot\left( c+ d\cdot i\right)={ac}+{ad}\cdot i+{bc}\cdot i-{bd}=\left({ac}-{bd}\right)+\left({ad}+{bc}\right)\cdot i%%

D. h. man kann mit komplexen Zahlen so rechnen wie man es von reellen Zahlen gewohnt ist.

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